1樓：HOHO-Naruke
還是別整Dedekind分割了。換一種Cauchy的方式吧。
考慮所有項都是有理數的Cauchy序列的全體S
(An)、(Bn)∈S
定義(An)=(Bn)，如果按照C(2i-1)=Ai；C(2i)=Bi定義的有理數列(Cn)也屬於S，此時稱這兩個序列相等。
稱S的乙個子集a是極大的，如果a滿足屬於a的任何兩個序列都相等，但a中任意的乙個序列和不在a中的任意乙個序列都不相等。
明顯S可以寫成一些極大的子集的不交並。每個這樣的子集稱作乙個實數。
特別的，常數序列(0,0,...)所對應的極大子集記作0
設a、b都是S的極大子集。任取(An)∈A，(Bn)∈B，定義a+b是(An+Bn)所在的那個極大子集。類似的可以定義a-b、ab，在b和0不相等時定義a/b。
這樣S的所有極大子集的全體就構成實數域R。
現在可以定義閉區間[x,y]，其中x，y∈Q，a∈[x,y]當且僅當存在乙個(An)∈a，x<=An<=y對所有的n成立。令x=0，y=1就得到[0,1] 令Zn=1-1/n 那麼∪[0,Zn]=[0,1）
2樓：HarryCatter
獻醜簡單說下自己理解的實數理論大致框架吧:
首先，自然數是萬數之源(至於自然數的定義，Peano公理，暫時就不談了..)
然後，擴充到整數。負數，可以看做是乙個大的自然數「減去」乙個小的自然數。所以，由一對自然數可以定義乙個整數。
再然後，由整數，擴充到有理數，這也容易理解。有理數a/b可以看作是由一對整數組(a，b)定義的。與自然數擴充到整數一樣，有理數是不能由乙個整數定義出的，需要一對整數。
最後，就是實數了。實數理論之所以困擾了那麼多天才數學家，就是因為，從有理數到實數，產生了質的飛躍: 用一對有理數是行不通的，要無窮多個有理數才能定義乙個實數。
不管是Dedkind分割，還是Cauchy列的極限，我們想得到乙個實數，需要無窮多個有理數，所以，每乙個實數，都代表了無窮多個有理數(如果這個實數本身就是有理數q，那就看做是無窮多個q自身定義的)。所以
實數，是乙個由無窮多個有理數的集合。
至於實數之間的序關係，可以通過集合內的有理數來定義，具體的定義方法題主肯定已經看過了。
大一剛開始接觸Dedkind分割的時候，覺得把集合當做數是一種很瘋狂的行為，不過後來接觸多了就覺得，其實數這個東西，本身就是虛無縹緲的。實數，有理數，整數，自然數，都只是人們抽象出來的概念。數的本質到底是什麼？
借助集合論來定義的數系應該是是最合適，最自然的，雖然它並不完美......
區間 0,1 的實數個數等於整個實數集合的實數個數 這句話如何理解？
帥康 首先先來證明這個命題，這個可以用函式f x 1 x在區間 0，1 上面是連續的 初等函式在定義的區間是連續的，在定義區間的子區間也是連續的 這裡x的範圍是 0，1 f x 的範圍是 0，所以 0，1 的數字和 0，的數字是一一對應的，因為0對應0沒毛病，所以 0，1 和 0，一一對應，所以 0...
區間 0, 1 內的實數，為什麼我證明可以數？
wxzhrs 搞不明白不可數問題很正常，題主搞不明白不可數問題還自稱學過數學分析就很厲害了.這比不可數問題厲害多了.至於題目裡的證明，乙個自然數翻轉過來必定是乙個有理數，不能對應到 0,1 中的實數.看過數學分析嗎？這麼厲害的題主居然匿名了，還指望題主能拿個諾貝爾數學獎呢.真是遺憾. ShTM 讓 ...
在0 1區間內取某一實數的概率為0，而取到大於1的實數的概率也是0，這兩個0有什麼區別？
概率統計一招制敵 取到大於1的實數，這是不可能事件，概率為零 取到0 1之間的某一實數，這是可能發生的事件，這個事件的概率為零。大海撈針，概率為零，但是可能撈到針的 三爪貓 連續型隨機變數X 0,1 取值範圍無限，它的概率分布函式 F x P X x 對任意正實數x 0,1 被pick的概率P x ...