1樓：王碩
我記的不是很清楚了，乙個隨機遊走的粒子，布朗運動，在3維以上的空間，回到初始位置的概率為0。在3維一下回到初始位置概率為1。
2樓：
高維球體的體積隨著維度的增高逐漸趨近於零。詳細證明比較麻煩，可以結合那個高維體積全部集中在表面的定理一起理解，維度越高體積集中的那層表面就越薄(O(1/d))，直到趨近於零。
3樓：孫鵬
凸集分離定理。在三維（以及任意有限維線性空間），兩個不相交的凸集一定可以被乙個平面（或超平面）分離，即可以找到乙個平面使兩個凸集分別位於平面兩側。
在無窮維線性空間中以上性質未必成立，需要加入其他條件。
4樓：Connor Zhang
n維的範數單位球體積集中在它的內切球(範數下的球體)內，半徑是. 也就是說，隨著n的增大，範數單位球的體積集中於半徑越來越小的內切球內。 下圖是根據體積比畫的圖。
這時候，隨便拿個超平面切一下，高概率切出乙個低維空間的範數球。
5樓：李歸農
對於3D standard contact space 中的Legendrian knot，假如它的front projection存在如圖所示的self-crossing，就可以用Reidemeister move來去掉這個self-crossing。這就是如圖所示從紅色曲線到藍色曲線的過程。
但是這件事對中的knotted Legendrian sphere不成立，因為在高維，Legendrian sphere的front projection可能存在如下圖所示的cone singularity。
Cone singularity是一種2維以上才有的non-generic singularity，而高維的Reidemeister move一般情況下不能消除這種singularity。這個簡單的3維和高維的區別是我最近的工作中最關鍵的觀察。
比如這解釋了為什麼2維的Ginzburg algebra用quiver就可以定義，而3維的Ginzburg algebra需要用quiver with potential。
很難想象充分理解這個簡單的幾何現象需要寫一篇不短的文章。
6樓：玩兒的就是心跳歸來
7樓：Xenapior
你可以用2範數（勾股定理高維版）簡單計算一下：乙個256維的「超正方體」的體對角線有多長。這能給你乙個直觀的感覺。
====修改線====
從簡單的2維開始舉例：下圖單位正方形內部有四個直徑為0.5的圓把它充滿，那麼這些圓之間的空隙中能填上的最大小圓（紅色那個）的直徑約為0.21。
如果換成三維單位正方體，則情況如下圖。此時紅色小球的直徑約為0.37，比2維時變大了。
四維情況下圖形不易直觀畫出，我直接給答案了：0.5。這又比3維時大了些。
再往高維走，這個間隙中的小球直徑可以用如下方法計算：，其中n為維度數。
你是否發現：這個「填縫隙的小球」的直徑居然可以無限增大！事實上在4維的時候，小球的直徑達到0.
5，這就和周圍那些球一樣大了。而到了9維的時候，小球已經膨脹到能接觸正方體的壁了。
ps: 1維的退化情形也符合這個規則：1維「球」可視為長度0.5的線段，1維「單位正方體」是長度1的線段。
8樓：
兩個高維正態分佈的隨機向量「幾乎」正交：Why are randomly drawn vectors nearly perpendicular in high dimensions
9樓：
Stein's example
統計裡面 Stein paradox也可以算吧對乙個Normal Vector的均值做估計， 1-2 維 MLE在均方誤差意義下是Admissible，但3維及以上就是inadmissible了。
這個我猜和上面一些同學講的高維球體積還有題主提到的球殼什麼應該有聯絡，但是最近我腦袋燒掉了，不想想問題。
一點補充
Larry Brown proved that the two questions are essentially equivalent. That is, the best invariant estimator of a d-dimensional multivariate normal mean vector is admissible if and only if the d-dimensional Brownian motion is recurrent.
10樓：Nirvana AC
說個比較弱的。高維的球的體積集中在它外圍的很薄的一層球殼上，高維的立方體的體積集中在它的一堆小角上（這兩個微積分求極限就能做出來），高維的高斯分布從球面座標看它的質量集中在一層半徑較大的薄薄的球殼上（這個用變分法）。
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