1樓：
很多時候，數學中的重要問題都是「分類問題」（比如單群分類的萬頁證明）。就如之前的一些回答。在「相似」這個等價關係（集合上給了等價關係，就確定了集合的乙個分類）下，希望在乙個等價類中找乙個最簡單的「代表元」。
最簡潔的形式，莫過於「對角矩陣」。遺憾的是，並非每個方陣都可以相似變換到純粹的對角陣，只好看看能不能相似變換到相對比較簡單的矩陣。雖然Jordan標準型不如「對角陣」完美、帥氣，但是它比「對角陣」更普適，「複數域上所有方陣，都可以相似變換到Jordan標準型」。
（PS：其實，這種「退而求其次」、「不完美中選最優」、「失望中尋找希望」的精神何嘗不是一種生活哲學呢，比如 找工作、婚姻 等等。）
而實際上呢，「Jordan標準型」雖然沒有「對角陣」帥氣，但是它成為了區分」工科線性代數「與」數學系高等代數「的乙個標誌門檻。這個意義上來講，「Jordan標準型」理論比 「對角陣」理論更深刻、更重要。
2樓：Alepha E
一開始，線性變換需要n^2個元素來記錄;
對角化後，乙個線性變換在某種意義下，用n個元素來記錄，是不是很方便？不論是計算，還是分析還是怎麼樣的。
但問題是，有些變換無法對角化 ，但是可以拆分成對角部分和冪零部分的組合。
這時，所有矩陣就可以用2n-1個元素來記錄了~有了jordan標準型的概念，對於交換性、矩陣的「平方根」的問題就很好解決了~
之前學書法時聽說過這麼一句話，
「結字因時而異，筆法亙古不變」
所謂結字和筆法，可以理解為矩陣和標準型吧~
3樓：Jerry Li
整個代數學的中心問題就是「分類」與「變換」。在相似變換下，複數域C上的n階方陣的連通分支全體(相似作為乙個等價關係，它的乙個等價類即為乙個連通分支)與全體n階Jordan標準型是1-1對應的。
4樓：「已登出」
我們知道乙個線性對映在不同的基下有不同的矩陣，理論上說，乙個線性空間有無窮個基，那麼乙個線性對映有無窮個矩陣，顯然，這對於研究線性對映是不利的，因為需要用矩陣來研究線性對映，現在有無窮個矩陣怎麼研究呢。
相似矩陣之間有許多相似不變數，例如行列式，秩，跡，特徵多項式等，這是屬於線性對映的跟基的選擇沒有關係的量。所以研究乙個線性對映不需要研究它所有的矩陣，只要研究乙個最簡矩陣就行了。
乙個最簡矩陣就是對角矩陣，遺憾的是並不是所有線性對映都能有對角矩陣。但是有乙個較強的結論，複數域上所有線性變換都有約爾當標準型，這個標準型就是這個線性對映最簡矩陣表示。約爾當標準型就是複數域上所有線性對映都可以存在的標準型，而且是唯一的。
5樓：任晨輝
「對角標準型」的概念是在《線性代數》中提出來的，「若爾當（約當）標準型」是在《矩陣分析》中提出來的，明確一點，「對角標準型」是「若爾當標準型」的特例，在《矩陣分析》中，凡是能對角化的矩陣稱為「單純陣」，也就是說，我們在《線性代數》中提到能對角化的矩陣都是所謂的「單純矩陣」。「單純矩陣」僅僅是所有n階方陣中很小的乙個範圍，我們知道，並不是所有n階方陣都可以對角化，但是，所有的n階方陣都可以化為「若爾當標準型」，《矩陣分析》所研究的一點就是所有n方矩陣的標準化問題。
乙個n階方陣能否對角化的前提是每乙個特徵值的代數重複度與幾何重複度均相等，即為單純矩陣。
舉例1：
對於方陣A
特徵值，代數重複度和幾何重複度分別為
所以，可以劃為對角矩陣
舉例2：
對於方陣B
特徵值，代數重複度和幾何重複度分別為
由於由於lamda2的代數重複度和幾何重複度不相等，所以，矩陣B不能夠對角化，但是，可以化成若爾當標準型。
分割線我想，到此為止，應該知道了，為什麼要引入「若爾當標準型」了，如果說「對角標準型」是為貴族服務的話，那「若爾當標準型」就是普世大眾了。
「對角標準型」是「若爾當標準型」的特例！
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