均勻帶電圓環內場強除圓心外都不為零，既然這樣，為什麼這個環沿軸線轉一圈後形成的球體內場強處處為零？

1樓：不靠譜的琴弦

好問題。不過這個問題的表述存在問題。後半句應該改為，均勻帶電的球殼內部產生的電場處處為零。

如果你把乙個均勻帶電的圓環旋轉一周，得到的並非均勻帶電的球面。如果那樣做的話，你可以想象到，赤道處的電荷面密度明顯低於南北極處。對於非均勻分布的電荷球面而言，不存在內部處處無場強的性質。

修改好問題的表述後，從本質上講，是因為帶電圓環本身是個一維弧線，而球殼是個二維球面。兩者的均勻分布並不是等價的，其實上面也說到了，轉一圈得到的球面電荷並非均勻分布。因此，你不能模擬這兩個幾何體，因為球殼上面分布均勻的電荷並非簡單地把圓環上均勻分布的電荷線密度作二維疊加。

以下是數學推導過程。

我們知道要計算球對稱電場中某點的電場強度是否為零時，通常是利用微元法考察通過該點作對頂的平面角（或立體角），計算其對應所形成的小圓弧（或小球面）所帶的電場是否能互相抵消。

對於帶電圓環形成的平面內的任意乙個點而言，假設通過該點在平面內作小對頂角，那麼形成的兩段小圓弧的長度是與它們到該點的距離成正比的，你學過相似三角形，這個肯定明白。可是對於點電荷來說，要產生等大的電場強度，他們的距離應該是與圓弧的平方成正比。為什麼呢？

因為只有弧長與面積平方成正比時，計算其產生的電場使用kq/x公式時，q能與x約掉。可是你的q在這裡＝λxdθ，λ是圓環的電荷線密度。你看，x約不乾淨。

可是對於球殼就不一樣了。計算立體對頂角所對應小球面所產生的電場強度為kσxdψ/x，x可以全部約掉，說明其內部任意一點處由任意乙個小麵元激發的電場強度只與該面元產生的小立體角有關，與該點到達面元的距離無關。因此，對頂小立體角所對應的兩個面元產生的電場可以對消。

處處對消，就導致最後在內部每個點都是零。