求問是否存在有以下性質的集合？

1樓：

存在。取就可以了。

只需要證明任何整數 x可以唯一的寫成，即可。

先證明存在性。如果對x=0，1，－1 有 0=0, 1=1, -1=1+(-2).

然後對|x|歸納。假設時成立。若|x|＝n+1。若x為偶數， x=(-2)*(-x/2)。由歸納假設知x/2存在這樣的表示，所以x也存在。

假設 x為奇數。 x=1+(-2)[(1-x)/2]. 由歸納假設知(1-x)/2存在這樣的表示，所以x也存在。

再證唯一性。寫。 a_0是x mod 2的餘數所以唯一。 a_1時（x-a_0)/(-2) mod 2的餘數所以唯一。。。得證。

2樓：Bruce

（1）首先S肯定是Q的子集，關鍵在於如何限制Q的子集以保證唯一性。

（2）注意在分析過程中除了唯一性，還要保證集合元素的互斥性。

那麼我們開始分析。先假設1在S中，嘗試整數數列發現：

1，2，3，4肯定是不行的；

1，2，3，5，7更不行；

那試試1，2，4，8，…呢？發現誒～這個可以！因為二進位制表示決定了每一位數字對應的二進位制進製即便出現，也最多出現一次，不會使集合出現重複元素；而且乙個數的二進位制表示是唯一的，只要把它的二進位制表示中1出現的位上相應元素括成乙個集合，那這個集合就唯一構成該整數的乙個分解啦。

（1）和（2）都滿足了。

那這個答案是不是唯一的呢？

如果我們將考慮的範圍擴大到分數，就會發現更多的答案。注意到如果允許1在S中而其他整數都用分數和來表示的話，依然會出現乙個整數有兩個表示（分數+分數，1+（n-1）），因此1也要用分數表示。設為1/p+(p-1)/p，其中p是乙個不等於2的素數。

但是其他整數仍然有可能有兩個表示，這時我們就可以用到分數表示的優越性了：對於其他整數n，我們對n-1/p做分拆，而不對n做分拆。這既保證了n不可能有n-1+1這樣的分解，因為1/p就會重複；同理，也保證不會有（n-2+2，n-3+3，……）這樣的分解。

對於n-1/p，我們將其分解為（n-1/p）（1/q+(q-1)/q)，其中q是乙個大於p，且與np-1互素的最小素數。乙個數n的表示便是（n-1/p）（1/q+(q-1)/q)+1/p。對於不同的n選取不同的q即可，一般我們選p，q1，q2，…為3，7，11，13，……。

最後剩下的就是證明乙個數不會有多個不同的分數和表示。這一點可以由如下事實看出：對任意的n，其分數表示式中每乙個分數的分母不是p就是pq。