1樓：大長桿菌
最近微觀學到了擬凹，也在思考這個問題。
根據定義，若函式 f 擬凹，則對定義域上任意兩點x、y，都有f( ax + (1-a)y ) >= min[ f(x), f(y) ]，0 <= a <= 1。
容易證明，函式擬凹的充分必要條是，對任意實數k，集合 S = 若非空則都是凸的。
通過上面這一定理，可以大致畫出擬凹函式的影象。
一、首先從簡單的一元函式y=f(x)開始
1.取值域中的乙個非最大值 k1 ，則 S1 = 是凸集。R上的凸集是區間，所以取S1 = [ a1,b1 ]，可以畫出(a1,k1)，(b1,k1)兩點。
2.再取值域中的非最大值 k2 > k1，取 S2a2 ,b2 ] ，可知S2包含於S1，有a1<=a2<=b2<=b1，接著畫出(a2,k2)，(b2,k2)兩點。
3.重複2中的步驟往下做，點足夠多了，用平滑的曲線連起來。我做出來的如下：
簡單來說，只要保證 k 值增加時，S不往外擴張就行(嚴格擬凹時S必須收縮)。下圖也可以是擬凹函式影象
二、多元函式擬凹的影象
做法與一元函式類似，這裡就不詳細敘述了。
對於二元函式z = f ( x,y )，擬凹函式的影象可以如下：
最後我找了一些有表示式的擬凹、凹、凸函式，做了圖，可以用來比較。
對於 z = f( x,y ) = ( xy )^a ，x>0，y>0
可以用海塞行列式和加邊海塞行列式證明：
1.當 a<0 時，f 凸
2.當 03.當 a>1/2 時，f 擬凹但不凹
Ex：1.凸函式
2.凹函式
由於取點問題，接近座標軸處還不夠平滑。
a = 1/2 是臨界點，因為 x=y 時，曲面上是一條直線
3.擬凹函式
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