1樓：黃鐵貓
This is a typical Brownian Bridge with the following definetion
suppose 0is a brownian bridge between W(0) & W(T),
E[B(t,T)*W(T)]=E[W(t)*W(T)]-E[W(T)*W(T)]*t/T=t-t=0
so B(t,T) is independant of W(T)
set t=2 T=3, B(2,3)=W(2)-2/3W(3) is independant of W(3)
E[W(2)-2/3W(3) |W(3)]= E[W(2)-2/3W(3))] =0
so E(W(2)| W (3))=2/3 W(3)
Furthermore, Bownian bridge and be generalised to the following case:
For sthe conditional distribution of W(t) is
N( ( W(s)(T-t)+W(T)*(t-s) )/(T-s) , (T-t)*(t-s)/(T-s) ) ,
Observing a sequece of underlying price S(T_1) S(T_2) .... S(T_N), whereas we need to simulate the price diffusion between two discrete observation, T_(i-1) & T_i , a brownian bridge construction is necessary.
Since the idea is just like a bridge, two extremity points are fixed, and the intermediant increment process are conditonally probabilistic
aproligize for my mixed Frenglish
2樓：王冠嵩
前注：我感覺應該有更漂亮的解法，但怎麼也想不出來。
W(2)在W(3)期望下的條件密度函式，根據貝葉斯公式（這其中嚴格說可能需要諸如絕對連續之類的條件，我不太記得了），可寫為：
由於 W(t) 是個標準布朗運動，所以有：
W(2) 服從正態分佈
W(3) 服從正態分佈
W(3) - W(2) 服從正態分佈
則上式可寫為：
可見，W(2)|W(3) 服從正態分佈 ，證畢。
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