1樓：
剛剛在組會上講完unitarity from amplituhedron，Arxiv:1906.10700[1]。
首先對於N=4SYM在Plannar Limit下的振幅，可以借助Amplituhedron的「體積」（實際上是Canonical Form寫出）。據我所知，它應該是最早將振幅表達成某個幾何體的體積的理論。在原始Amplituhedron的定義中，Tree Level Amplituhedron本身是「inside of a polygon」的generalization。
Projectively, 對於乙個二維多邊形，inside 體現在如果將平面中任意一點寫作polygon各個頂點 的線性疊加，那麼所有的係數都應該是同號的（此處取為正）；而若要得到乙個convex polygon，則需要任意三個ordered vertex所構成的行列式為正。具體地，對於 點 的Tree Level情形，相應的Amplituhedron 是 維空間中的 平面所有滿足下列條件的Y所構成的空間
其中各個指標 ，且 。矩陣 屬於positive(non-negative) grassmannian ，即 為乙個 的矩陣，且所有ordered k minors 都是正（非負）的，之後再模掉乙個 Transformation。External Data 也應該是positive的，只不過不需要模掉任何Transformation。
對於loop level 的Amplituhedron ，假設它有L-loop，則要相應的插入L個2-planes。
類似於polygon，Amplituhedron原則上也可以進行Trianglulization。而它的canonical form被定義為乙個4k-form ，滿足 在且僅在boundary 上有對數奇性。從canonical form 可以得到散射振幅。
正如題主所說，這一發現某種程度上簡化了計算。而更加有趣的是，對於NMHV樹圖振幅，Triangulation是簡單的，而且恰好對應於原有N=4 SYM NMHV振幅計算結果中的R-invariants，而這也正是BCFW的結果，因此也說這裡的一種triangulation對應於一種BCFW；對於1 loop level的MHV振幅，它給出Kermit Expansion的形式。[2]
然而原始的Amplituhedron最大的不便之處在於它是乙個highly-redundant的定義，因為positive grassmannian的維度是 ，大於Amplituhedron的維度 ()。因此誘導Nima等人發現了Amplituhedron的'facets version'的定義[3]，進而通過sign flips以及winding number這一拓撲性質實現了 的等價定義，這一定義為Amplituhedron的triangulation, all loop cut,unitarity等問題的進一步研究提供方便之處。
自從Amplituhedron提出以來，越來越多的人開始關注如何將振幅表示成某個幾何區域的「體積」，例如Associahedron的ABHY實現給出了 樹圖振幅[5]，作為Finite Type的Cluster Algebra，它被推廣到B/C and Type D的Cluster Algebra[6]
[7]，並且都具有相應的ABHY實現，分別給出含有tadpole的以及一圈的 振幅。他們也給出正確的factorization。
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