1樓：
這個是可以給出解析解的。
正好最近涉及到關於這種模型的高中問題的輔導，這裡使用其中的兩個假設：靜摩擦力等於動摩擦力以及動摩擦力只與壓力有關。然後我們考慮乙個比較簡單的情況，質量為 的滑塊，與勁度係數為 的彈簧連線，在動摩擦因數為 的桌面上拉至偏離平衡位置 0" eeimg="1"/>（為了方便進行的假設，偏移 時在下面解前面加個負號即可），求之後的運動。
寫出運動方程
0 \\ x|_ &= A, & A > 0 \\ \dot|_ &= 0 \end" eeimg="1"/>
為了方便起見，下面定義 。目測可知，在 時做的是平衡位置在 的簡諧振動，在 0" eeimg="1"/>時做的是平衡位置在 的的簡諧振動。
(2 n + 1) \delta" eeimg="1"/>
這個公式看起來比較複雜，其實背後的物理含義是比較清晰的，做出 x-t 影象以及 v-t 影象
x-t圖
v-t圖
從 v-t 圖中可以看出，每過乙個週期，物體加速度發生一次突變（大小為 ），體現在圖中表現為 v-t 圖斜率的突變。
從 x-t 圖中可以看出，滑塊做每過 振幅減小 的簡諧振動，當速度減為 ，且振幅小於 時，停止運動。
當時那個問題只涉及到從靜止開始的運動，有空更新一維狀況下任意初始條件的通解。
2021-02-09更新：修正手癌，加入任意初始條件的通解。
假設初始位移為 ，初始速度為 ，那麼分兩種情況：
若 或 0" eeimg="1"/>，則 , 。這樣子可以寫出通解為
0" eeimg="1"/>
若 0" eeimg="1"/>或 ，則 ， 。這樣子可以寫出通解為
0" eeimg="1"/>結束。
2樓：路徑積分
僅考慮作一維運動的情況，根據摩擦力的大小，可以分為三種情況
1）摩擦力較小，彈簧振子仍然做簡諧振動，但是振幅按照指數規律逐漸縮小，並且週期較無摩擦的的情況更長。
2）摩擦力較大，彈簧振子不再做簡寫振動，而是單調的向平衡位置移動。
3樓：
在微分方程裡加入阻尼項 ，描述簡諧振動的方程變為 ，這個方程的通解是 .
為了能更清楚的了解這個解的性質，我們做乙個變換：
項顯示了振幅隨時間衰減的規律，而 項顯示了其相位隨時間改變規律，這裡會有乙個有意思的事：如果阻尼增大到一定程度，使得 \omega_0^2" eeimg="1"/>，則 成為虛數，說明振子根本無法完成一次振盪，而是以指數趨近於零。
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