1樓：USTC學渣
先佔坑，後面逐漸完善，初學者還請多多指教。SL(2;C)的李代數sl(2;C)是su(2)的復化，相當於從乙個實數域線性空間擴充套件到複數域的線性空間，我們將其寫成sl(2;C)=su(2)+isu(2)。而O(1;3)包含恆元的那個連通分支SOe(1;3)的李代數同構於兩個su(2)李代數直和（任何一本量子場論教材都會講到，把rotation和boost生成元重新組合一下）。
通用覆蓋的乙個必要條件是李代數同構，顯然SL(2;C)和SOe(1;3)的李代數都可以看作是6維同構線性空間。進一步我們可以找到乙個SL(2;C)和SOe(1;3)的2對1同態（將Minkowski空間同構於2*2厄密矩陣的線性空間，定義矩陣乘積求跡為內積，然後SL(2;C)對應於閔可夫斯基空間的乙個等距對映，也就是O(1;3)中乙個元素，正負X對應的元素一樣），SL(2;C)單連通，而SOe(1;3)基本群Z2，因此SL(2;C)是SOe(1;3)通用覆蓋群（不清楚題主為何要考慮洛倫茲群的復化）。待續。
2樓：melonsyk
0. SU(2) 和 SL(2, C) 是什麼關係？
的元素可以表示為
其中和是零跡矩陣的厄公尺部分和反厄公尺部分。
令。則和分別構成兩個李代數。
換句話說，可以看做的復化。
1. so(3,1)的復化同構於sl(2, C)⊕sl(2, C)，為什麼SOe(3,1)反而會被SL(2, C)蓋住？
有什麼問題？
2. 所謂左手旋量和右手旋量，是不是分別對應(1/2, 0)和(0, 1/2)表示？它們對應的是表示（線性變換），而不是表示空間中的向量嗎？
是群表示的標記，因為正如上面所說可以看做的復化，因此可以看做兩個，每個的表示都是由半整數（自旋）標記，因此整個群的表示由兩個半整數標記。這個並不是哪個空間的向量。
3. 這個表示是可約的，但為什麼Dirac方程是耦合的，它會把左手旋量和右手旋量混合起來？ Weyl方程就不是耦合的。
Dirac方程中的質量項把左手旋量和右手旋量耦合起來，對於無質量旋量兩個表示就是脫耦的。
質量項為什麼一定要耦合兩個手性的旋量？在下面問題的答案會說。
4. 如果第一問中，這些旋量對應的是線性變換，為什麼它們不像別的線性變換那樣寫成矩陣的樣子，而是寫成兩個數的樣子？ 你指第二問嗎？
不懂你在問什麼。旋量不是線性變換，而是被線性變換的向量。寫成兩個數的你是指Weyl旋量還是上面提到的表示的標記？
5. 為什麼不會把兩個旋量加起來？如果他們是線性變換，似乎確實不能加起來，因為群元素只有乘法，群元素不會加起來。
更加混亂了。旋量是表示空間中的向量，變換是群元素，這是兩種東西。旋量可以相加。
6. 為什麼兩個旋量按照那個ψ γ0 ψ的規則乘起來就成了「標量」？我自己去計算了一下，確實它會把左手旋量和右手旋量的分量混合地乘起來，並且還是乙個實數。
但我不理解為什麼要這麼湊起來。同樣，為什麼 ψ γ0 γ0 γμ ψ 就成了乙個像向量一樣的東西？這些都可以驗證出來，但是我不清楚這是為什麼。
這涉及到兩個Dirac旋量表示的直積分解，其CG係數就是矩陣。也就是說，旋量的雙線性型一定屬於洛倫茲群的某個表示，這取決於你使用的是哪個矩陣：其中一種給出的就是標量，另外幾個給出的就是向量表示，此外還有張量表示、贗向量表示和贗標量表示。
可以做乙個簡單的證明：
我們知道，而且，
所以即兩個標量，乙個張量，兩個向量。接下來還要用宇稱來標記，就不贅述了。
回到第三個問題，乙個質量項必須是乙個標量的雙線性型，所以它必須選擇特定的乙個矩陣，這就必然導致左右手的混合。
有限群的不可約表示和群的共軛類個數相等應如何理解？
我覺得這種理解問題是由於從群論到群表示，中間乙個重要環節沒被重視，就是群代數的引進。在群的乘法之外，再定義群的加法，然後每個群元作為單獨的基底，你i就有了正則表示。然後所有的不可約表示只不過是這個巨大的正則表示矩陣的不變子空間。共軛類和不可約表示都是這個表示在相似變換下的不變子空間個數，就相等了。 ...
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