1樓：楊虎星空
向量一般被定義為具有方向性的量。我們知道，向量的方向可以通過向量的作用線與座標橫軸的夾角的角度來定量地描述，而這個角度作為實數又決定於平面座標系中不同點，因而它是平面座標系這個特殊的流形中的光滑函式。於是，。
在一般的流形中，「方向」尚無定義；因此將作為有方向性的量的向量這一概念推廣到一般流形中時，應當抓住有方向性的量這一概念的本質的，便於推廣的特性，即實數與流形中的光滑函式的對映關係。於是，在流形中，向量可以理解為流形中光滑函式與實數的對映關係。但是，在微分幾何中，流形中的向量被定義為引數曲線上的任一光滑函式對曲線引數的導數即沿曲線切矢方向的方向導數；而這求導，便是實數對光滑函式的具體對映方式之一。
之所以如此定義，原因在於，微分幾何研究的是空間曲線的區域性性質。而任何曲線它的區域性與該點的切線重合。因此研究空間曲線的切線的性質就十分重要了；因此，在微分幾何中所涉及的向量一般是切向量。
由於在流形中曲線被定義為引數曲線，而引數曲線的切矢一般定義為定義在引數曲線上的任一光滑函式對曲線引數的導數；於是作為流形中的切向量定義為沿曲線切矢方向的方向導數。而這曲線就是切矢的積分曲線。
2樓：
有很多種定義方式。
幾何地可以定義成曲線的芽的等價類，或者直觀地說在一點相切的所有曲線定義成乙個向量。
也可以定義成作用在流形的函式上的導子，也就是說把直觀上這個向量的方向的方向導數定義為向量本身。
代數地可以定義為結構層在這一點的莖的極大理想，即在這一點取值為零的函式構成的理想，商極大理想平方的對偶，或者直觀地說 Taylor 展開的一次項。
3樓：吳班
曲線定義，見任何一本微分幾何教材。
對於流行上以t為引數的曲線，考慮流形上全體光滑函式，上述曲線在p點的切向量定義為從光滑函式集到實數的線性映照，即將函式 f 限制於麴線上，再在p點對t求導的數值。若兩個向量對所有函式的作用相同，則稱兩個向量等價，由此可進一步定義向量的加法和數乘，再可證明上述定義的向量全體構成乙個線性空間，維數恰為流形的維數。
在流形上引入度量後，流形上的函式的方向導數的定義，為什麼不以兩點間的黎曼距離取代歐氏距離？
這裡並沒有出現Riemann流形。然後關於在p點關於切向量X的方向導數，可以任意找一條曲線s使得s 0 p,使得這條曲線對應到這個切向量 這個對應取決於你如何定義切向量，陳這本定義成曲線的等價類，這個對應是直接的 這樣任意連續函式f通過復合f circ s就成為乙個R到R的光滑對映，這個在0處的導數...
為什麼線性空間要定義在域上？
瓦曉得 偶然刷到這個老問題，我剛好可以補充一點大概沒有被提過的資訊 線性空間一般定義在域上的原因，一句話總結，如某位答主說的，就是如果是關於某個域的話，可以得到很多很好的性質。線性空間定義 子空間 商空間 線性對映 線性相關 無關 基 維度 有限維線性空間之間的線性對映的矩陣表示 行列式 特徵值特徵...
向量在數學上是如何定義的，尤其是方向性怎麼定義，線性代數中用一組數表示向量，是某種特例嗎？
數學上，向量定義為向量空間 即線性空間 的元素。給定域F，F上的向量空間V是乙個集合，若在其上定義有兩種二元運算 加法運算 V V V和數乘運算 F V V，滿足以下八條性質 前四條是加法性質，中間兩條是數乘性質，後兩條是兩種運算間的性質 1 2 3 4 5 6 7 8 V中的元素就稱為向量，相對地...