1樓：
生成函式是在操作形式冪級數環 。如果你還是覺得不爽的話，其實形式冪級數環上是有自然的拓撲的：0 處的鄰域基由 ^i" eeimg="1"/>給出，因此收斂性 well-defined。
作為乙個平凡的例子，可以驗證 確實是收斂到 的。
2樓：羅旻傑
在特殊函式理論中，如果生成函式所包含的都是具體的物件，那麼實際上是需要確定收斂範圍的。當然，由於前人在收斂性方面已經做出了相當多的工作（例如，幾乎所有常見的單變數，多變數超幾何級數的收斂範圍，大部分古典正交多項式的估計都已經清楚了），在進行生成函式的演算過程中可以比較放心。可也有不少證明實際上是無法說明，或者很難嚴格地證明收斂性的。
但畢竟，生成函式是有退路的，那就是即便不收斂，也可以說至少在形式冪級數的情況下是可以接受的。
事實上，很多經典的書中都會用不同的符號對收斂和發散加以區分，例如：
但是，這裡我想說的是，生成函式有時候可以（或者需要）理解為用某乙個多項式序列來展開特定的函式，所以若有明確的收斂條件，會大大增加其價值。
3樓：
級數的形式理論不需要收斂，但如果收斂，可以動用解析函式的結論，得出一些漸近結果。
具體一點講，你操作的只是乙個形式等式，兩邊相等意味著對應項的係數相等。
但你只是做了有限次加、減、乘、卷積、逆（倒級數，常數項不為0）、復合（內層常數項必須為0）、形式導數。
這時不需要收斂。因為你所有的操作都可以轉換成係數的運算。
可是如果你要把它當作函式，用奇點、路徑積分之類的，那就需要解析了。
可參見《發生函式論》，清華大學出版的一本黃色封面書。
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