1樓：謎之槍兵X
首先，我必須得指出一件事：這題雖然放在拓撲的語境中，但是從拓撲學的角度回答是偏題的。這個題本質上是乙個邏輯問題，或者語言問題，而稍微帶點一般集合論的東西在裡面，和具體的拓撲學概念並無關係。
這裡的「凸集」「仿射集」完全可以換成和拓撲學無關的另外一對集合論概念——只要在這對概念上能構建乙個良定義的「包」，即包含某一集合作為子集且符合這一概念條件的唯一最小集合——而題主的這個問題仍然會出現。
然後，梳理一下題主提出的三個思路：
判定條件上，凸集比仿射集更弱，只對係數大於 的線性組合作出要求。換句話說，判定集合是凸集的判定條件是判定集合是仿射集的判定條件的子集。
從具體的點集來說，是仿射集的一定是凸集，反之不然。換句話說，所有仿射集的集合是所有凸集的集合的子集。
從點集的包的角度來說，乙個點集的凸包是這個點集的仿射包的子集。
可以看出，這三個思路都在各自的意義上成立，而且互不矛盾。順便，為了驗證我一開始提出的觀點，接下來我用「序數」「基數」代替「凸集」「仿射集」（乙個序數集的「序數包」和「基數包」定義為以這個序數集為子集的唯一最小序數和唯一最小基數，不難證明這和序數集的上確界類似，是良定義的），並且調整一下其他一些概念以避免定義的衝突，來重述一遍這三個思路：
判定條件上，序數比基數更弱，只對集合和自身的元素及元素的元素的關係作出（遞迴的）要求。換句話說，判定集合是序數的判定條件是判定集合是基數的判定條件的子集。
從具體的數來說，是基數的一定是序數，反之不然。換句話說，所有基數的類是所有序數的類的子類。（這裡有乙個小修改，因為所有基數太多了，不能作為乙個集合。）
從數集的包的角度來說，乙個序數集的序數包是這個序數集的基數包的子集。（例如 的序數包是 ，但基數包卻是大得多得多的 。）
所以題主根本的問題在於說「某類集合是某類集合的子集」的時候，沒有搞明白這裡的「某類集合」到底是說「判定乙個集合是否某類集合的條件」，是說「所有某類集合組成的類（這個類自己可能是個集合，也可能不是）」，還是說「乙個具體集合的某類包」。這裡就體現了自然語言的模糊性；因為這個模糊性的存在，「某類集合是某類集合的子集」就比「某個集合是某個集合的子集」模糊得多得多了。
細細分析的話，1和2的區別就是邏輯學上所謂內涵和外延的區別——「判定乙個物件是否某類物件的條件」就是所謂「『某類物件』這一概念的含義」，也就是內涵（intension）；「所有某類物件組成的類」則是外延（extension）。這是一對對偶的概念——如果A類物件的內涵是B類物件的內涵的子集，那麼B類物件的外延就必是A類物件的外延的子集，反之亦然。所以，思路1和思路2不僅是「不互相矛盾」而已，它們是互為充要的。
而2和3的區別則「狹窄」一點，只有在這「某類物件」是「某類集合」的時候才有這個區別存在；這裡混淆的或許可以說是「具體的某個很小的某類集合」和「所有這類集合又形成了的那個集合（或者真類）」。不過只要我們這裡說的這「某類集合」上有良定義的「包」，3就是可以聯絡到1的——某個集合的A類包是B類包的子集說明這A類包雖然具備了足夠多的元素來滿足A類條件，卻還不具備足夠多的元素來滿足B類條件，也就是說A類條件是B類條件的子集，就和1是一樣的了。（最開始說某類集合上有良定義的「包」，實際上就是說「對乙個不滿足這類集合條件的集合適當地加入一些元素，總可以變成滿足這類集合條件的集合」——否則「雖然具備了足夠多的元素來滿足A類條件，卻還不具備足夠多的元素來滿足B類條件」這句話就不能說了，因為不滿足B類條件就未必是因為元素「太少」了。
）不過我還是懷疑題主說的這個老師一開始想說的是3，但是卻按照論證1的方式論證了。
2樓：下唐國主百里守約
如果凸集是仿射集的特殊情況，那麼凸集一定滿足仿射集的條件，但是顯然並不。相反，仿射集是凸集的特殊情況，因為仿射集一定滿足凸集。概念上來說，所有仿射集都是凸集。
但是具體到例項，你不能說具體的乙個仿射集就一定是具體的乙個凸集的子集，而是仿射集空間是凸集空間的子集。
3樓：於果
你老師說對了一半。
乙個凸集是某些仿射集的子集。這裡的子集是指單個例項本身的子集。
而不是說凸集是一種特殊的仿射集，是仿射集這個概念內涵的拓展(係數大於0)。這裡的子集是概念外延的子集。
術語的嚴謹使用很重要。
4樓：donglee
個人的理解：不能說convex set 和 affine set 誰是誰的子集，因為凸集和仿射集只是兩個定義，應該例項化後再說誰是誰的子集
正確的表達為：the set of all convex combinations of a collection of points (which is a stronger condition) is a strict subset of all affine combinations of the same collection.
（一組點的所有凸組合的集合）是（同樣一組點的所有仿射組合的集合）的子集
凸優化這本書24頁也寫道： Every ane set is also convex, since it contains the entire line between any two distinct points in it, and therefore also the line segment between the points.
凸集相比於仿射集具有更強的約束條件
5樓：theone
我覺得這個問題可以用線段和直線的概念做模擬。
過兩點的線段，和過相同兩點的直線，前者是後者的子集。
這個結論可以模擬於任意集合C的凸包是仿射包的子集。
直線是線段的子集嗎？線段是直線的子集嗎？都不是。
因為直線和線段是兩個並列的概念，直線的集合元素是一系列具體的直線，而每乙個具體的直線也是乙個集合，具體的直線的集合元素才是點，這個時候具體的線段就是對應的具體的直線的子集。但是線段這個集合不是直線集合的子集，他們的集合元素是完全不同的，前者集合元素是具體的線段，後者則是具體的直線。
這個結論模擬於仿射集和凸集的關係，仿射集不是凸集的子集，凸集也不是仿射集的子集。而你們老師想表達的概念是乙個特定的凸集是其對應的仿射集的子集，C集的凸包和仿射包就是一組特例。
然後就是線段是直的，所以線段就是直線嗎？線段就是直線的超級或者子集嗎？不是的。直只是一種性質，滿足直這個性質的不一定必須是直線。
這個結論可以模擬於凸性，具有凸性的一定是凸集嗎，不一定，凸性只是凸集定義的乙個屬性，是乙個必要條件，但不是充分條件，所以不能傳遞，不能認為具有凸性就必須是凸集或者凸集的子集。
我也是今天剛開始了解凸優化的，以上只是我面對這個問題的思考，不保證正確。
6樓：
@青十五 的回答已經說的很好
這裡補充乙個簡單的例子說明一下二者的分別
從定義上說，仿射集未對線性係數 的取值範圍作出嚴格要求，理論上可以從負無窮到正無窮，如果 則y正好位於 ~ 的線段上，對於所有滿足此條件的x構成的集合稱為凸集。
那麼如果 取值在 ， 連線的直線上，而非二者之間的線段的情況呢？舉個最簡單的例子，比如超平面，如果定義乙個包含所有b<=0的超平面C， 與 為屬於C的任意兩點，有 且 ，則假設y在 ， 的連線的直線上時，有可能y>0。但如果規定y一定在 , 連線的線段上時，則一定有y<=0。
所以說對於超平面b<=0的半空間，其為凸的，但並非仿射的
7樓：戴瑋
你的那位「某老師」說錯了。。
這裡的關鍵問題在於：是凸集的條件更強，還是仿射集的條件更強？從「某老師」的說法來看，他認為凸集的條件更強，這導致你的概念變得有些混亂，產生了三個疑問。
但實際上，仿射集的條件是強於凸集的。
仿射集要求集合當中任意兩點的係數和為1的線性組合（即過任意兩點的直線上的點）仍在集合中，凸集在仿射集的要求上，如題主所說增加了乙個「係數非負」的條件，幾何直觀來說是任意兩點連成線段上的點仍在集合中，增加的這個條件反而降低了要求，不需要任意係數和為1的線性組合仍在集合內、而是只有係數非負而係數和為1的線性組合在集合內就可以。
你說的疑問3，兩個點的凸集如果限定在1維，可以是過這兩點的任意線段、射線、直線，但仿射集就只有過這兩點的直線，所以你如果只取其中乙個凸集，它可能是仿射集的乙個子集（如你疑問中所說，過兩點的線段是過兩點直線的子集），但所有仿射集的集合只是所有凸集集合的乙個子集（只有過兩點直線這乙個元素的集合，是過兩點線段、射線、直線等元素的集合的子集）。
8樓：青十五
題主這裡應該是搞混淆了仿射集、凸集、仿射包、凸包的概念
仿射集（affine set）、凸集（convex set）
這兩個概念是對集合本身性質的描述，先看他們的定義：
集合S是仿射的對任意，有
集合S是凸的對任意，有
從定義可以看到，仿射集對集合的要求包括了凸集對集合的要求（在以外的區間也需要滿足），要求更嚴格，因此：
1. 如果凸集是仿射集的特殊情況，那麼凸集應該是仿射集的子集。
看對「特殊」怎麼理解了，也可以這樣理解：相比凸集（的情況），仿射集還需要額外滿足更多條件（的情況）才是仿射集，所以仿射集是凸集的特殊情況
2. 但是任何仿射集又都是凸的，所以任何仿射集都是凸集，反之不亦然，所以仿射集應該是凸集的子集。
前半句理解是對的，後半句確切的理解應該是：所有仿射集的集合是所有凸集的集合的子集
仿射包（affine hull）、凸包（convex hull）
這兩個概念是對已有集合生成新的集合的方法，同樣看定義：
集合S的仿射包
集合S的凸包
可見集合S的凸包中的元素也在S的仿射包中，反之不亦然
3. 對於空間中的兩點，其仿射集是過這兩點的直線，其凸集是連線兩點的線段，線段應該是直線的子集。所以這裡描述的直線和線段應該分別是這兩點組成的集合的仿射包和凸包，我們有：
參考自：
[1] 王書寧等譯[M]. 凸優化 [Convex Optimization]
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