1樓：
曲線 r =1-2sin (\theta)，曲率恆＞0，有自交點，不是凸曲線。
平面凸曲線必定是無自交，這是do Carmo 微分幾何的習題。如果加條件只允許「簡單曲線」，答案是肯定的
2樓：寨森Lambda-CDM
這裡宣告：
如果光滑正則簡單閉合曲線 的曲率處處不為0，那麼 是凸集。（這可能就是題主所說的 是凸曲線的含義）
證明概述（可能不嚴格，請自行嚴格化）：
顯見 沿法方向，即只有兩種可能：要麼指向曲線內側要麼指向外側。但由於 連續，並且由1知有正的下界，故只可能處處指向內側或處處指向外側。
考慮 上離原點最遠的點 ，容易證明 是指向內側的，所以由2知 處處指向內側。
由3知 至少在區域性看起來是凸的（意思是：對 中任何點 ，存在乙個鄰域 ，使得 是凸的）。為了證明這一點，只需考慮 在邊界 上的每個點 都是區域性凸的（為什麼不用考慮內部？
因為內部是開集，自然是區域性凸的）。將 平移到原點並且作乙個旋轉使得 豎直向上，則變換後的 在原點附近是某一函式 的影象，並且 0" eeimg="1"/>，這意味著 在原點附近是凸函式，即原點附近 上方（等價地， 附近 內部）是凸集，這就表明 在 處是區域性凸的。
查了MSE[1]，閉集+連通+區域性凸就可以推出凸（1928, Tietze & Nakamija)，而前三條正是 所滿足的。
3樓：wzd
舉個例：
六個等圓與另一等圓都相切，（即直徑為3的圓內可放7個直徑為1的圓），然後這6個從相切處第乙個去掉內側部分，第二個去掉外側部分，以此類推形成一閉曲線，有3段凹也有3段凸，且處處曲率半徑為1。
我舉的反例可以嗎？
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