1樓：
首先，有理數就是被定義為整數/非0整數。
同時，整數和有限小數都等於無限迴圈0的小數。
所以問題等價於：有理數=無限迴圈小數。
也就是，有理數都可寫作無限迴圈小數；無限迴圈小數都是有理數。
Part I. 無線迴圈小數都是有理數。
S=無限迴圈小數，則S可被寫為：
我們可以將其寫為
其中 和 都是有理數，所以我們只需要證明
是有理數
我們寫 ，乙個整數。
則 所以 也是有理數， 是有理數
Part II. 有理數都是無限迴圈小數。
我們來試圖將寫成小數形式：
這個過程中我們生成兩組數列：
和 。前者為各位小數依次構成的數列，後者為每次小數與q產生的餘數。有如下關係：
, ,, 我們注意到， ，故 。寫
於是則考慮有序集 和 ：他們相等。
同時，所以 至少從 起以至多 的長度迴圈， 是無限迴圈小數。
2樓：Joken
是的。這個證明不難，我說下小學生也能理解的思路吧。
兩個整數a除以b，餘數必定是在0到b之間，只有有限種可能。
我們做除法運算的時候，是逐位算出商和餘數，然後把餘數乘10再繼續求商和餘數。
由於餘數只有有限種，並且相同的餘數會得到相同結果，所以必定會迴圈。
3樓：ZiKing
是的。前兩種情況可以等價為第三種情況，因為整數和能除盡的小數均可以視為迴圈節為 （或 ）的小數。
那麼，為什麼乙個分數一定可以變成無限迴圈小數呢？
以下分兩步證明這個結論。
首先證明：對於任意乙個形如 （下面是 個 ，上面的 ， ）的真分數，都可以化為無限迴圈小數。
我們假設 化為小數時等於 ，那麼 ，兩邊加上 ，得 ；
注意到原分數是真分數，故 的整數部分為零，而只有小數部分；
於是我們發覺，等式右邊的 就是將 的小數點向後移動了 位。而因為 ，所以等式兩邊的小數部分、整數部分分別相等。等式左邊的整數部分是 ，而等式右邊的整數部分就是 的小數點後前 位組成的那個整數，二者相等。
這說明 小數點後前 位就是 （正好 個，注意此處允許有前導零）。
等式左邊小數部分就是 ，等式右邊的小數部分是 的小數點向右移動了 位之後剩下的小數部分，二者也相等。也就是說， 向左移動位以後，小數部分不變。這說明，對於任意正整數 ，的小數點後第 位和第 位是相同的，也就是說， 的小數部分以為週期，即為迴圈小數。
這裡實質上證明了，任意乙個分母為 （若干個 ）的真分數，均可化為無限迴圈小數。
好了，上面那個結論就證明完了。那麼，對於任意乙個假分數，我們將其化為乙個整數加乙個真分數來考慮；而對於乙個真分數，我們想辦法將其化為 的形式。
以下證明第二個結論：對於任意正整數 ，一定存在 的某個倍數，滿足其在十進位制下是 的形式（不要求 和 一樣多，也不要求一定有 ，但要求所有的 都在 前面）。
使用鴿巢原理（抽屜原理），考慮將 、、 、 、……、 （ 個 ）這 個數按照除以 所得的餘數分為 類（除以 所得的餘數只有 、 、…… 這 個），那麼由鴿巢原理知，必有兩數除以 所得的餘數相同，假設它倆為 和 ，不妨假設 。由於 和 除以 所得的餘數相同，所以 一定是 的倍數，而 又恰好是 的形式，故結論得證。
得到以上兩個結論後，就可以完成原命題的證明了。
對於任意乙個真分數 ，我們可以將分母乘上某乙個整數，使其恰好化為 的形式，再乘 進一步化為 的形式，假設 ，則等式右邊可以化為乙個無限迴圈小數。
QAQ.E.D.
兩個整數相除，如果除不盡，那麼商一定是迴圈小數，為什麼？
GimmeMana 假設是a b，你去算小數的過程就是，那你每一次除法算完那個餘數一定是在0 b 1之間。這個餘數你經過補0之後再算下一位小數是什麼。如果是除不盡，也就是無限迴圈小數，那就沒有餘數是0的情況。因此你最多算b 1次，這個餘數就迴圈了。餘數迴圈了就說明結果也就迴圈了。 曉生 這是乙個很有...
怎麼證明乙個正整數 a 的任意兩個因子的最小公倍數仍是 a 的因子？
目標當然就是證明公倍數一定是最小公倍數的整數倍這裡只需要注意到，如果a和b被m,n分別整除，那麼a b也被m,n分別整除 因此，根據數學歸納法，假設能夠取到最小的公倍數，使得它不是最小公倍數的整數倍，那麼它必然小於最小公倍數，否則它與最小公倍數的差將是更小的公倍數，並且無法被最小公倍數整除 然而這與...
對於任意兩個大於1的正整數a,b，是否只有有限多組正整數 u,v 使得a的u次方與b的v次方差為1
沈家全 對於已有的答案，樓上有人講了，令a u b v 1，有3 2 2 3 1，這時a 3，b 2，u 2，v 3。還有u 1，v 1，a，b為相鄰的兩個數，即a b 1。還有a u 2，即a 2，u 1，2 1 2，而b 0 1，b為任意大於1的整數，有2 1 1，這時u 1，v 0。綜合這裡我...