1樓：0x76
感覺問題是在問如何給出乙個面積最大的內接等邊三角形（等價於將正方形分割成無窮小的小正方形填充的情況）。
先上結論，當等邊三角形的一條角平分線與正方形的一條角平分線重合，且二者該角的頂點重合，則此時的能畫出的最大的等邊三角形的面積最大。
證明：假設正方形邊長為1，然後我們先確定等邊三角形的一條邊，該邊與正方形的某一邊的夾角記為 ，該邊邊長記為 。
對於某乙個 ，可以有無數個 ，顯然 是有界的。
又等邊三角形的面積 ，該函式在 單調遞增，所以對於任意給定的 ，找到對應的最大 即找到最大的面積。
以正方形中交我們先確定的這條邊的兩條邊建立座標系，如圖
那麼容易知道 .
通過計算可知，等邊三角形的另一頂點 .
由兩角和公式得，
又 在區間 與 中情況是對稱的，所以只需要研究 的情況.
容易知道，當 時，隨著 增大，C 會先超過正方形右邊界，因此得到 的乙個邊界條件 .
又 也要求在三角形內，所以 .
又當 時， \sin\left(\theta+\frac\right)" eeimg="1"/>.
所以 由於函式 在 遞增，在 遞減，在 遞增。
又 所以 .
由上述過程看似可以得到兩種作法。
一、以正方形乙個頂點作為三角形的乙個頂點，並在該點作與正方形邊夾角為 的射線交正方形的另一條邊。所得線段為等邊三角形的一條邊，並就此作出對於的等邊三角形。
二、作出一條長度為 ，並於正方形的一條邊夾角為 的線段，作為等邊三角形的一條邊，並就此作出對於的等邊三角形。
作法「一」
作法「二」
可看到，作法二其實就是作法一旋轉了的結果。
補充乙個更為簡單直觀的證明
能否用不同大小的小正方形拼出乙個大正方形 ？
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