1樓：三千弱水
三角形的重心、垂心、內心、外心、旁心稱之為三角形的五心。五心有很多重要性質。
：三角形的三條中線交於一點，該點叫做三角形的重心。主要性質有
重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為;
重心和三角形任意兩個頂點組成的3個三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比;
重心到三角形3個頂點距離的平方和最小;
在平面直角座標系中，重心的座標是頂點座標的算術平均數。即設的座標分別為 則重心
：三角形的三條高(所在直線)交於一點，該點叫做三角形的垂心。與垂心有關性質：
三角形三個頂點、三個垂足、垂心這個點可以得到個四點圓；
三角形外心、重心、垂心三點共線，且;(此直線稱為三角形的尤拉線(Euler line))
垂心到三角形一頂點距離等於此三角形外心到此頂點對邊距離的倍
：三角形內切圓的圓心，叫做三角形的內心。主要性質有:
三角形的三條內角平分線交於一點，該點即為三角形的內心;
直角三角形內心到邊的距離等於兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一;
三角形的內心到邊的距離(即內切圓的半徑r)與三邊長及面積之間有關係
：三角形外接圓的圓心，叫做三角形的外心。有關性質:
三角形的三條邊的垂直平分線交於一點，該點即為三角形外心
若是 的外心，則 ( 為銳角或直角)或( 為鈍角)
當三角形為銳角三角形時，外心在三角形內部；當三角形為鈍角三角形時，外心在三角形外部；當三角形為直角三角形時，外心在斜邊的中點上；
外心到三頂點的距離相等。
：三角形的旁邊圓(與三角形的一邊和具他兩邊的延長線相切的圓)的圓心，叫做三角形的旁心。有關性質：
三角形一內角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交於一點，該點即為三角形的旁心；
每個三角形都有三個旁心；
旁心到三邊的距離相等；
旁心與半周長 有關。如圖 ，是 的乙個旁心，作 於點 於點, 於點，顯然
圖一所以
即三角形各心之間的相互聯絡
等腰三角形的內心、外心、重心、垂心共線(均在對稱軸上);
等邊三角形的內心、外心、重心、垂心共點;
的內心是切點的外心;
的外心是中點的垂心;
的垂心是垂足的內心;
的重心是中點的重心;
若三角形中同時出現內心、旁心，就構成了三組三點共線、三組四點共圓
圖二在圖二中，為的內心，是的三個旁心。顯然等三點共線；等四點共圓。
三角形五心有乙個向量統一表示：
當 為 的外心 時
當 為 的內心 時
當 為 的垂心 時
當 為 的重心 時
當 為 的旁心 時， 則對旁心有
則對旁心有
則對旁心有
參閱：[1]範端喜, 鄧博文. 數學奧林匹克小叢書. 高中卷. 平面幾何[M]. 華東師範大學出版社, 2011.
[2]李顯權. 三角形五心的乙個統一向量性質[J]. 數學通訊, 2010(14).
[3]三角形五心的優美的向量表示
如何求解無向圖中三角形的個數？
摘自 Cohesive Subgraph Computation over Large Sparse Graphs Algorithms,Data Structures,and Programming Techniques 符號 給定簡單無向圖 分別用 和 表示頂點和邊的個數，即 和 我們用 表示 ...
三角形A能放進三角形B的條件？
把乙個三角形放到另乙個三角形中，想到的第乙個條件應該就是，A的面積要比B小。然而這只是必要條件，不是充分條件。延伸一下想到的是 三角形A的最長邊不大於B的最長邊，最短邊也不大於B的最短邊，這兩條邊的夾角不大於B中最長和最短邊的夾角。兩邊及夾角剛好可以求面積.然而這兩邊足夠短夾角其實是可以大於B中的夾...
怎麼用座標表示三角形五心
rossetta 提問中的記法似簡實繁,不能體現出三個頂點座標的協變性.乙個確定形狀的三角形,其頂點座標在乙個正交直角座標系中可以靈活選取,頂點間座標也可對換,輪換.在選定座標之後,座標之間進行對換,輪換,五心的座標保持不變.有鑑於此,直接消除座標的特殊性,用 迴圈記法.這種記法似繁實簡,下面你將能...