1樓：
所有正多面體的相關於頂點數 V、稜數 E 和面數 F 的性質都可以由每個面上的邊（稜）的數目 p 和每個頂點出發的稜的數目 q 給出。由於每條稜有兩個頂點又在兩個面上，我們有
另乙個關係是尤拉公式:
（這個不顯然的事實可以通過多種途徑證明。在幾何拓撲中，這是因為球面的尤拉示性數是 2。） 上面三個等式可以解出 V, E和 F：
注意交換 p 和 q 會交換 F 和 V 但 E 不變。
正多面體只有五種這個定理是乙個經典結果。下面給出了兩個證明。注意這兩個證明都只證明了正多面體至多有五種，這五種的存在性需要靠構造給出。
多面體的每個頂點至少在三個面上。
這些相交的面處的角（也就是頂點發出的角）的和必須小於 360°。
正多面體的頂點發出的角是相等的，所以這個角必須小於 360°/3 = 120°。
正六邊形及邊更多的正多邊形的角大於等於 120°，所以正多面體上的面只能是正三角形，正方形或正五邊形。於是：正三角形：
每個角是 60°，所以正多面體每個頂點發出的角數目小於 360°/60° = 6，也就是每個頂點只能在
三、四、五個面上，這分別對應於正四面體、正八面體、正二十面體；
正方形：每個角是 90°，所以正多面體每個頂點發出的角數目小於 360°/90° = 4，也就是每個頂點只能在三個面上，這對應於正方體；
正五邊形：每個角是 108°，所以正多面體每個頂點發出的角數目小於 360°/108° = 10/3，也就是每個頂點只能在三個面上，這對應於正十二面體。
純粹的拓撲證明可以只利用正多面體的性質．關鍵在於和．綜合上面等式，我們有
於是由於 0" eeimg="1"/>，
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注意到 p 和 q 必須大於等於 3，我們可以容易地找到所有五組 (p, q)：
引用自正多面體
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