1樓：
最近正好也在想這個問題，在GCN中，總感覺用鄰接矩陣A的正交基也是可以做變換的，因為A也是實對稱矩陣，也有一組正交基可以用於變換。
但是仔細研究了一下後，發現在證明原始傅利葉變換的卷積定理的時候，用到了 這一等式，也就是說特徵函式是需要滿足f(a)*f(b)=f(a+b)條件的，這一條件對於傅利葉基 是滿足的，而其他基可能就不一定了。所以如果想使用卷積定理，最好使用拉普拉斯運算元（拉普拉斯矩陣）的特徵函式，其他矩陣要用除非也能滿足上面的條件。
2樓：方軒固
謝 @何奕霖 邀。其實對GCN並不十分了解，對圖論更是外行，只能簡單地說下自己的理解。
從基函式（數學一點）的角度，時頻傅利葉的基 , 其實是從解拉普拉斯運算元的特徵方程得來的。廣義特徵方程是： 。
把這裡變換 換成拉普拉斯運算元 (實際上就是個二階微分)了，解這個二階pde, 得到的結果就是 。他代表著對在一般連續函式空間裡的「二階微分對映」，在一組特定的正交基上（傅利葉基）等價於乙個伸縮變換。所以，我們可以直接把函式變換到那組基對應的新空間裡——就是傅利葉變換，方便地進行二階微分運算，最後再轉換回來就是了。
對於一般的函式 , ，或者說二階微分，直觀就是「隨時間 變換, 函式值變化率的變化率」。而對於乙個圖，當我們也想定義他的「傅利葉變換」，首先就要定義圖上的「二階微分(拉普拉斯運算元)」是個什麼東西。 乙個比較偏物理的解釋就是「Diffusion process of signal on a graph」：
給圖中的某個點加熱，熱量會沿著邊傳播到其他的點。這個傳播過程中，熱量變化的「平緩程度（smooth）」，就是圖的二階微分。而乙個圖的拉普拉斯矩陣，恰好就對應了「Diffusion process of signal on a graph」。
(這種對應具體的推導我真不知道，望有大神指教)。換言之，乙個圖的拉普拉斯矩陣，就等價於定義在這個圖上的拉普拉斯運算元（二階微分）。再回到廣義特徵方程：
，把變換A換成拉普拉斯矩陣 （即圖上的二階微分運算）， 得到。模擬時頻傅利葉的推導，這其實就告訴我們，圖上傅利葉的基，就是L的特徵向量了。
注意，以上沒有涉及到圖上的卷積啥的，純粹是基於「乙個圖的拉普拉斯矩陣，就等價於定義在這個圖上的拉普拉斯運算元」這個早已是Spectral Graph Theory的基石的知識。
從卷積（應用一點）的角度來說，無論是學各種變換時遇到的、正兒八經的卷積，還是CNN煉丹時的卷積核，本質上都就四個字「加權求和」。
時頻傅利葉變化對於卷積運算有乙個性質，是 ，實際上就是把原函式 和加權函式 都丟到傅利葉空間，分解成傅利葉基加和的形式，然後基於正交基性質，原本「加權求和」過程，就變成簡單的「element-wise product」了。
對於image data, 反正grid 四四方方的，就不用搞變換那一套，乙個個 filter-windows 滾過去就完成加權求和（卷積）了，不同的「權重「就對應提取到的不同特徵。而對於圖，每個節點degree不同，沒法直接」滾「; 而且考慮到某些類似於pooling 這些操作是要求」permutation-invariant「的，直接遷移到圖上來的話，每個節點的編號順序也會影響。所以就要想辦法，把某個節點的特徵從 vertex domain 變換到 spectral domain （模擬於函式的傅利葉空間）。
這個變換也應該像時頻傅利葉變換一樣，變換過去之後，新空間的基是正交的，且是維度是一致的，於原節點的degree無關——這樣才方便設計fix-sized 的卷積核，通過「element-wise product」來進行」加權求和「，提取特徵。而拉普拉斯矩陣的對稱，psd, 實特徵根，以及
的性質，剛好滿足我們的需求，所以我們就開開心心地用他的特徵向量陣 ，把特徵從vertex domain對映到spectral domain ，然後方便地作卷積（」加權求和「）了。
以上只是最基本的ituition, 近幾年新的工作層出不窮, 還望真大佬多指教交流。
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