1樓：三川啦啦啦
用射影幾何中的交比性質，可以說是秒證。
蝴蝶定理
過圓內弦中點引出任意兩直線被圓所截得到四個點，同側相連，與弦相交得到兩個點關於弦中點對稱。
引理（交比不變性）
從同一點發射出四條直線，與另外兩條直線相交，產生兩組點列，它們的對應點構成的交比相等。
（復分析莫比烏斯變換中有復比的概念，是交比的推廣）
交比的定義是：
引理也就是說：
證明
通過這個轉化，我們發現交比只與這四條定直線的夾角有關，與動直線與四條定直線相交方式無關！
Q. E. D
我們稱 點為射影中心，從對映的觀點看， 被對映為 ，記該對映為 ，於是定理可以表述為：
有了這個引理的鋪墊，下證蝴蝶定理：
證明
如圖做輔助線。由圓周角定理可知： 和 是兩個等價的射影中心，因為它們的對應角都是同弧所對的圓周角，於是它們的交比相等，即
將等式兩邊展開化簡，立即得到：
Q. E. D
另外，蝴蝶定理很容易推廣到圓錐曲線上，
利用圓的仿射性質（壓縮）：共線的線段之比(單比)經過仿射後不改變。利用射影性質等可以推廣到其餘二次曲線上。
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