1樓：LLjpcz
(真夠拗口的啊，這個是實變榮譽課提到的定理，在知乎上隨便找了乙個聯接)
2樓：Heinrich
對一切的outer measure都對。但如果只是一般measure space是不對的。另外對一般的measure space是很容易做出乙個complete measure space的。
3樓：Julia
在目前我所學範圍內，零測集的子集必然可測。
原因:首先外側度為0的集合一定可測，而零測集的子集的外側度≤該零測集的外側度，所以此子集外側度為0，因而可測。
4樓：sola
證明：由外測度定義， ，其中 為所有包含 的開集。
則 0,\exists O" eeimg="1"/>為開集，包含 ，且 。
由外測度的單調性， 且
即總是存在乙個開集 包含了 且使得 的外測度充分小。由定義， 為Lebesgue可測的。
但是對於一般的測度空間，這個命題不一定成立。
我們可以舉出反例：
在 上（這裡 為Lebesgue測度， 為實數域上的Borel域），考慮Borel域的大小。由於Borel集可以看成是 生成的 域，故Borel域和實數域是一樣大的。但是考慮Cantor集，其為乙個零測集且為不可數集。
故所有Cantor集的子集為零測集從而為Lebesgue可測集，但是Cantor集共有 個子集。故必定存在乙個Cantor集的子集 ，其不為Borel集。那麼 就是乙個非Borel可測的Lebesgue可測集，且在 上，有 成立，其外測度為 。
事實上，乙個測度空間被稱為是完全的當且僅當任意可測的零測集的子集都是可測集。實變函式中有上述結論的本質原因是 是個完全測度空間（Caratheodory定理）而 並非完全測度空間。事實上， 揭示了這兩個集合系之間的關聯。
5樓：鬼畜的氫原子
實變函式裡很基礎的乙個事實A為零測集，當且僅當A的外測度為0
那麼設A為一零測集，B包含於A，B的外側度一定小於等於A的外測度（是0），即B的外測度是0，B為零測集，為可測集
可測集與可列集關係嗎？不可測集是不是一定不可列？
辛辛 可測集是針對於某乙個測度定義的。我們稱乙個集 為 可測的，如果它滿足對於任意的 有 所以對於乙個集，可能關於 可測，但關於 不可測。當 為Lebesgue測度時，可列集一定是可測的，並且測度為0。相反的，不可測集一定不可列。 可測集就是有測度的集合，通常有三種定義 內測度 外測度 能用含於其中...
可測集多還是不可測集多？ 即一維，直到n維的歐氏空間中，可測集類和不可測集類是否等勢？
黎曼可不積 從問題本身來看 不可測集只要存在就不會比可測集少我們這裡的測度對一般的測度而言 不僅僅是Lebesgue測度 對任意集合X，考慮X上的 代數 並且 是X的冪集 的真子集 這保證了不可測集的存在性，代數中的元素便是可測集，相對於 的補集中元素就是不可測集 以下將證明 代數 的勢要小於等於它...
關於可測函式的定義？
謎團 第一種定義是最一般的定義。第二種定義是從可測空間到的函式可測定義。這時候是上的 代數取由所有開集生成的 代數 稱為 代數 第一種定義在這種特殊空間上就變為,由於屬於開集生成的 代數，所以第一種定義可以推出第二種定義。從第二種定義推第一種定義麻煩一些。假設也就是是所有拉回去還是可測集的集的集合。...