1樓：黎曼可不積
從問題本身來看
不可測集只要存在就不會比可測集少我們這裡的測度對一般的測度而言（不僅僅是Lebesgue測度）對任意集合X，考慮X上的 代數 , 並且 是X的冪集 的真子集（這保證了不可測集的存在性， 代數中的元素便是可測集，相對於 的補集中元素就是不可測集），以下將證明：
代數 的勢要小於等於它相對X的冪集的補集的勢
這個證明是構造性的，首先介紹乙個對稱差『 』的概念設集合 的對稱差運算為， ，那麼冪集關於 構成群，其中空集是該群的單位元。
證明：是X的冪集 的真子集，設 ，對任意 ,令 , 則 ，若不然，由 得到 與 矛盾。又由於 , 所以 是 到 的單射。
所以的勢一定小於等於 的勢，證畢。
2樓：王箏
xy. 補充乙個定理：記實數集的基數是 ，那麼Borel集全體，即開集\閉集\區間全體生成的 代數的基數也是 .
我們知道，任何乙個可測集一定能夠寫成乙個零測集和Borel集的無交並. 這個定理說明，雖然說可測集和不可測集基數一樣多，但是佔大多數的部分其實反而是測度意義下不重要的部分。換句話說，要不是零測集來湊數的話可測集就沒那麼多了括弧笑。
這個定理的證明要涉及生成 代數的結構問題。我記得做實變助教的時候看到好多小朋友直接寫Borel集就是開集閉集可數次交交並並出來的，其實遠遠不止。證明過程中可以看出，生成 代數的構造是一步一步按照序數(ordinal)做編號做上去的，每一步相當於是上一步得到的集合的至多可數次運算的結果全體。
然後利用超窮歸納，一直做到第乙個不可數的序數，才能得到最後的Borel集。夏道行先生的書上有這個結論，但是要看明白還是要學一點集合論的。
最後，感覺題主的後乙個問題其實沒什麼意思……我們知道每個正測度集合裡面都有不可測集，但是反過來的命題沒什麼意義吧，畢竟全空間是正（無窮）測度的可測集，而且我們很容易構造乙個實數集裡面的不可測且外測度是正無窮的集合。
3樓：dhchen
我們知道任何乙個正測度集合中至少包含乙個不可測集，不妨認為取區間中的乙個不可測集合 ， 對於任何乙個Cantor集合 中的子集 ,集合 一定不可測，這種不可測集合的基數自然和Cantor集合子集的基數相同，於是這類不可測集合數目是 。所以，實數中的不可測集合的基數也是 。
學好Cantor集合多重要啊。
可測集與可列集關係嗎？不可測集是不是一定不可列？
辛辛 可測集是針對於某乙個測度定義的。我們稱乙個集 為 可測的，如果它滿足對於任意的 有 所以對於乙個集，可能關於 可測，但關於 不可測。當 為Lebesgue測度時，可列集一定是可測的，並且測度為0。相反的，不可測集一定不可列。 可測集就是有測度的集合，通常有三種定義 內測度 外測度 能用含於其中...
零測集的子集是否可測？
LLjpcz 真夠拗口的啊，這個是實變榮譽課提到的定理，在知乎上隨便找了乙個聯接 Heinrich 對一切的outer measure都對。但如果只是一般measure space是不對的。另外對一般的measure space是很容易做出乙個complete measure space的。 Jul...
整數集和分數集一樣多？
加加菲 一一對應能夠說明一樣多，但是反過來就不對。比如，取兩個正整數集1，2，3，我讓第乙個自然數集的1對應第二個正整數集的2，第乙個正整數集的2，對應第二個正整數集的4，3對應6，依次類推。看起來就像第乙個正整數集是第二個正整數集的一半大小一樣，由此判斷它們不一樣多顯然不合理。因為，能找到一種一一...