學習古典微分幾何還有意義嗎？

1樓：

學習古典微積分（也即「數學分析」課本內容）都已經沒有意義了，對於以後打算做純數學的學生而言，目前中國大學數學系的3學期數分是浪費時間的。

2樓：不連續的存在

其中乙個問題已經有很多年的歷史了：完備的，嵌入R3的極小曲面是無界的。至今還沒有完全解決。（也被稱為Calabi—yau猜想）

（其實我只是乙個一般通過群眾，，，）

3樓：

首先啊, 意義和必須是兩個完全不同的概念. 退2023年講, 學習尺規作圖和三等分角有意義嗎? 當然有意義, 對於啟蒙數學興趣來說,反而還很關鍵呢!

那這些東西是必須學的嗎? 個人感覺不是的.

所以學習古典微分幾何還是很有意義的, 其中的一些構造啊, 計算啊還是非常有趣的. 比如高斯怎麼定義曲面的曲率的, 以及Gauss-Bonnet定理的證明啊, 都是非常有趣的東西. 但是這些東西不是必須學的.

從個人經歷而言, 我是先找了本標準微分幾何的教材學習的微分幾何, i.e. n維流形.

後來由於感興趣, 才去學了一些曲面上的微分幾何, 就是你說的古典微分幾何吧! 到現在我也沒有看過Gauss-Bonnet定理的證明.

4樓：Yuhang Liu

如果從學黎曼幾何的角度，不是必須學，但是曲面論其實也不一定非從度量的角度學。2維是個特殊的維度，曲面都是區域性共形平坦的（等溫座標存在性），度量的共形類跟曲面上的復結構一一對應——於是我們得到了黎曼曲面。黎曼曲面既是復一維的復流形，也是2維的黎曼流形；復分析的技巧可以應用在黎曼面上。

黎曼面也是1維的光滑代數簇，又是代數幾何中的最基本幾何物件。黎曼面上最重要的定理，Riemann-Roch，其實已經可以看出代數幾何思維的一些雛形。

所以，我想說的重點是，認真學習曲面論，你不僅僅能學到古典微分幾何，也能學到最基本的復幾何和代數幾何，其實也可以從曲面出發學習（最初等的）辛幾何。所以這其實是整個現代幾何學的乙個入口。

另外，單純從微分幾何自身的角度來說，R^3中的曲面論還有很多未解決的問題。典型的比如極小曲面，包括R^3中的整張極小曲面和B^3中的自由邊界極小曲面，都有很多很多未解決的問題，現在還是研究的熱點。

最後，強烈建議非數學專業理工科學生去學學古典曲面論，以及黎曼曲面論。這是真正看得見摸得著的數學，而且在工程裡面應該也有實際應用。

5樓：

對大部分以後不需要數學的本科生來說，流形論不是必要的。古典微分幾何是接續微積分的，可以讓他們體會用微積分研究數學問題。

或者說是讓微積分不白學，讓學生多接觸一點兒幾何，讓學生在微積分線性代數概率統計之外有事幹。