1樓：學半
查《說文解字》看到「牛為物之大者。天地之數，起於牽牛」，頓悟中國古代的聖賢之人借牽牛之一繩，牽引出萬物之理、無敵之道的宇宙數論。大家知道，數論是數學中最初等和最基本的部分。
參見：什麼是中國傳統數學科學的萬物之理、無敵之道?
2樓：小老頭
我來說乙個經歷：高中物理，開始學習的時候受力分析聽不懂，力和運動更是一竅不通，能量和動量守恆天書一般，更不用說熱、電、磁了，但是上覆習班時突然開竅了，什麼題都會做，解題思路清晰的一批，這竅開的連自己都怕，莫名其妙就懂了。
3樓：零點一
從數分的梯度到微分幾何的協變導數（共變導數）到黎曼流形上的聯絡，進行了兩次意義上的提公升。研究生兩年跌跌撞撞，終於快到畢業時頓悟了。
4樓：「已登出」
最近才突然意識到的。
代數是想建立乙個足夠廣泛的結構系統，使所有的數學概念都能以此為底嚴格建立起來；分析是想要求出或者逼近某個方程的最優解，或是給出乙個規範去從某些角度描述乙個量具體是怎麼樣的。
覺得之前想的都好trivial…
可能以後會有更深的體會吧。
5樓：
在上大一前試圖看the rising sea，結果層論學得馬馬虎虎不是很明白，上了一年大一，只學了數分高代，再回來看the rising sea的層論部分就明白了許多，數分高代跟代數幾何也沒太大關係，不知怎麼就有些頓悟
6樓：
感覺樓上的都好大神啊QAQ 我好想分享乙個初中經歷
初一的某一天，數學很好的我突然什麼都聽不懂了，那時候學的很簡單，無非是用各種方法求乙個角多少度。老師總結了很多，每堂課全班都沸騰一片！
然額我神tm什麼都聽不懂QUQ 小測試還是隔桌女生偷偷救濟的 （感覺好丟臉哈哈哈
在絕望下，我還是很認真地完成回家作業，有一天在做培優提高班時，一道很簡單很簡單證明兩個三角形全等的題目，我寫在練習冊上。
突然，有一種很奇怪的感覺，好像被開啟了任督二脈，那個瞬間，所有求角的方法都湧入腦海，那段時間所有困惑我的問題（包括行程問題、輔助線問題）全部得到了解答。 那是乙個很通神的瞬間，我明明只寫下了三角形ABC，但我很清楚地知道，我很清楚的感受到，我什麼都懂了，渾身是一種很奇妙奇妙的輕鬆感。
那個瞬間之後，我的數學成績不僅回到了原來的水平還更上一層樓，我很清晰地感受到自己對題目、圖形的靈敏度高了很多，對題目解法的直覺也準確了很多。當很多女生需要一遍一遍問，把過程抄下來的時，我已經可以在腦海中把題目用多種方法解決了。
畢業時，班主任偷偷告訴我說數學老師覺得我是班內數學成績最好、學的最輕鬆的女生。我記得藏地密碼裡說人一生只能頓悟一次。可能很難描述頓悟是一種怎樣的感受，但它於我，徹徹底底發生了，餘生漫長，但它可能會影響我餘生。
7樓：
8樓：不減肥成功不改名
我印象最深的還是學微積分的時候死活不能理解極限，尤其是函式在某不連續點的極限那種，我在想它又取不到那個值，為什麼就等於那個值呢！後來有一天仔細看定義，極限只是乙個數字啊，我就恍然大悟了，然後堅定了用型別論幹翻集合論的決心。
還有就是理解範疇論裡的泛性質的時候，死活搞不定，當時沒學過抽象代數（對，我學基礎群論的時候全靠基礎基礎的範疇論定義提供直覺，不是反過來），熟悉的範疇就是 Hask 範疇，於是死活理解不能，問學長都不能理解我的問題。最後亂畫箭頭畫了好久才畫出來，一下就頓悟了。
可能我太年輕，但我感覺只要你看書別步子太大扯到蛋，或者被奇怪的符號搞暈了，頓悟不容易，很多動機結論構造都應該很直接才對，看了之後會有一種哇我怎麼沒想到哇這也行哇好美麗。不過我又喜歡裝逼扯蛋，又喜歡過度形式化於是選的教材英語比較簡潔，於是……
可能只是我蠢吧。
我只是大二的，什麼都不懂，被 singular homology 和 polynomial ring 按在地上打呢，上面全是扯淡，大神輕拍。
9樓：AfterPhilosophy
本人力學系本科，數學是自學的，當時剛接觸張量的多重線性對映的定義時覺得並沒有什麼卵用，直到有一天突然想到應力張量和應變張量可以做成對偶空間，應變能就是定義其上的內積，那麼剛度矩陣就是二者之間的同構多重線性對映，這樣一來一切都想通了。還有就是連續彈性體上的位移場，就是定義在其切叢上的水平向量場，應變張量就可以定義為度量張量關於位移場的Lie導數，那麼使此結果為0的向量場(Killing 向量場)就是剛體位移場，這樣一切都是如此的清楚明了。
10樓：
高三的時候數學很好，然而壓軸題常常不能解出，直到有乙個數學老師給我講了一道題，真的是頓悟啊，瞬間知道了解壓軸題的技巧，自己又按圖索驥，直到掌握了壓軸題的解法，從此壓軸題基本可以秒解，高考的時候也是讀完一遍思路就出來了。真的很感謝那個老師。
11樓：刷刷
也不能說是頓悟，因為以為自己懂了，其實，其實還有好多好多東西缺少直覺。
數學真是神奇的東西。讀懂了公式，理解了定理，你以為學懂了，結果又在別的領域發現，哦，原來還可以這麼理解。這種經歷太多，到現在我看到數學的時候，總是習慣性不單單看公式，而是嘗試理解它到底講了乙個什麼故事。
感觸最深的就是關於高等代數吧。大一知道怎麼求特徵值，特徵向量，SVD分解，大概覺得高代就這些。。。？
然後高年級時學了科學計算，ODE，還有動力系統，發現，天啊，特徵根原來還能體現系統的穩定性，還有計算是否會收斂。
現在走入統計的世界，最基礎的主因子分析（PCA），其實就是SVD分解，找最大的幾個特徵值，找出對應的垂直的單位向量（特徵向量）。
然後（高維）矩陣，統計中NP問題，norm，regression，哪乙個跟特徵根沒關係？
關於高代的理解，絕不會單單是以上這些。數學啊，還是要多看多想，大概就會有所謂的階段性「頓悟」吧。
12樓：Cardinal
學到Score Theorem時感覺遇到了瓶頸，連證明的過程都看不懂。當時又遇到別的煩心事了，為了一掃陰霾，我就以閃電般的速度把整整四頁的證明過程抄了一遍，累得抬不起手，然後想通了，特別想哭。以後遇到什麼大的挫折，我就會把這個定理找出來!
13樓：芋頭
不是開玩笑，我小時候學數學競賽，有道題想到晚上沒想出來。晚上睡覺做夢的時候夢到了怎麼做，真的是茅塞頓開，半夜爬起來把答案寫了。
14樓：老爆
我說，微積分裡面的分部積分，是我自己想出來的你信麼？
那會還沒學到分部積分，也沒有預習過，也沒有聽過，看過，接觸過任何分部積分，壓根不知道這麼個東西。
有一次寫作業，有道題（過去10年了吧，已然忘了）明顯用分部積分去解大家都不會，我也不會，在宿舍憋了一下午，加半個晚上，晚飯都沒吃。突然靈光一現（我估計當時是想通了微積分原理），用分部積分算出來了。對答案一看，一字不差。
後來上課，本來打算問問老師一聽老師講的，我擦，這不是我想到的麼？說給同學，他們都不信。
15樓：孟昱先
說乙個神經網路的吧……
最開始接觸神經網路的時候，看著一層層的神經元鏈結起來組成神經網路，訓練使用什麼反向傳播演算法，感覺可高階了……後來發現一層神經元其實就是線性變換+非線性變換的過程。所謂神經網路其實就是乙個帶了很多引數的（遞迴定義的）復合函式。你想要這個復合函式和樣本點擬合得足夠好，由於沒有解析解，所以就用了梯度下降的方法。
而求梯度（偏導數）的時候實際上就是鏈式法則一路求下去就好了。以及如果使用多元微積分的視角，一次可以求一整層神經元的梯度，所以反向傳播的形式其實很簡單。（我看到的大多數版本都是乙個乙個神經元求的，看起來很煩……）
至於所謂神經網路可以以任意精度擬合任意函式，其實就類似於證明冪函式或三角函式可以逼近函式了……
想清楚這個之後頓時覺得神經網路其實也挺傻的有沒有……
16樓：原始天尊
在我接觸到公理化思想的時候，那時年紀尚小，深受影響。
有好的一面，在學習數學物理的時候不再浮於表面，能看到它們的整體架構，自然事半功倍了。
壞的一面就是，感覺數學物理是絕對的真理，可以解釋萬事萬物，自然而然就瞧不起搞社會科學的了。慢慢長大，才發現自己當時畢竟圖樣圖耐衣屋。
17樓：
科普書籍中總是說Riemann猜想和素數分布有關，但具體的關聯科普書是不寫的。
事實上Riemann早就給出了顯式公式，只不過涉及無窮求和不好用，在Riemann猜想成立的話有最好的餘項估計。
如果在某些問題中，我們有更好的方法直接利用/處理這種無窮求和，不見得非要用餘項估計。
科普書中又會告訴你經常小於，從幾十萬億的資料來看，直觀上好像一直小於，但Littlewood證明了事實上不等關係會反轉。
看起來很毀直觀。但是，如果你意識到，最終不會太大，而表現出某種類似週期性的變化
那麼你的直觀感受可能會完全反過來。Littlewood的證明，無非是落實細節。
概率論裡經常使用的特徵函式，其實就是對概率分布的一種傅利葉變換。
所以通過特徵函式的技巧來證明，本質上就是用積分變換的技巧來證明。
神經網路演算法，說的很玄乎，其實就是一種特殊的函式擬合。
為了衡量擬合的程度，我們採用乙個量（函式或泛函），認為這個量極小時擬合程度達到最佳。
於是在這個量可微的區域就可以用各種最優化的方法計算最佳的引數。
18樓：晨晨
為啥都這麼高大上的答案。。。
我就說倆。
乙個是小學學豎式除法那年，上課沒怎麼聽明白，上課習題做出來都是錯的，後來不知道怎麼的就會了。。
另乙個是初中學求角那年，就是一堆角混在一起告訴你這個角多大那個角多大讓你求另乙個角多大那種，上課沒怎麼聽明白，課後做練習冊也沒做明白，後來也是不知道怎麼著就明白了。。
不要笑話我智商-_-||
至於以後的數學學習，就屬於得會且會得做且做的型別了，雖然高考數學分也不算低，大學高數啥的也能八十來分過去，但要說頓悟，真的沒有。。。。最懵逼的就是離散數學和線性代數。。。
19樓：
占個位子:
線性代數
Ax=b
可以看做向量x經過乘以矩陣A變換後得到向量b，就像是乙個函式對映一樣，
說到函式對映，只有單射是可逆的，也就是說如果x僅有唯一解的話，就可以根據b唯一確定x，A沒有讓向量x丟失資訊，b和x在同乙個維度，倘若x有多個解，那麼A一定是產生了某種變換，使得x丟失了某些資訊或者浪費了資訊，減少了約束，使得能有多個解與方程對應。
使x發生了降維，單從b和A,是無法確定原本x的。
關於可逆矩陣有了新認識。
這是隨筆
你學社會學時有過怎樣的 頓悟 的經歷？
sewin 如果是前者，那我確實沒什麼可以答的，因為我學過的學科裡，真的沒有哪門課，書名上帶著社會學著三個字的，什麼職業社會學，家庭社會學，環境社會學，乙個都沒學過。如果是後者，那我可以告訴你，只要處處留心，你學習過的任何知識，什麼儒學，心理學，哲學，佛學，甚至物理數學邏輯學 還有你經歷過的所有事情...
學習數學應該怎樣下手？
老朱 我建議你買一本新的七年級教材，從後面的練習題做起，會做就過 不會做就認真這個內容學的知識點然後看例題，接著再做課後習題。如果看不懂建議你請乙個老師輔導，記住只輔導你不會的知識。 不請自來 我覺得我可以打保票說全國沒有哪個省的中考數學考試是考奧數的。所以先向你爸媽說一下不要學習奧數這種純粹業餘時...
學習高等數學時，書上的例題是做還是看？
檸檬初夏 建議你先做一遍再去看，因為我覺得我就是那種看了很多遍，但是到考試的時候再去做還是會一臉懵的，你看的過程雖然看似你好像看懂了，但實際上沒有你自己動腦筋想出來那麼有成就感，也不會那麼記憶深刻 姚容飛 如果你只是為了應付期末考試的話只要把書上的例題弄懂就可以了，畢竟大學老師出卷子一般都是按照書本...