1樓：數學小太白
引用：http://www.gogeometry.com/education/mathematics_mind_map.gif
2樓：
嘛，寫下這個答案已經很久，最近跟一位師兄聊了幾次，感覺到要做數學有乙個方面還是蠻需要使勁加點的：趁早找乙個合適的女朋友！
第一階段（培養代數直覺）：題主現在已經已經大一下學期了吧，這個時期除了必修的高代和群論，可以適當接觸一下有限群的表示。這個時候你就會發現不同的代數結構之間是存在相互聯絡的，用具有良好結構的代數研究抽象的代數或幾何物件是現代表示論的乙個基本願景。
等你群論的基本概念和理論已經比較熟悉，也能理解群的表示是什麼的時候（只要求概念的理解，技術的細節可以慢慢補充，學代數怎麼能不浪一點呢╮(╯_╰)╭），你一定會對上面這幅圖很熟悉了。沒錯，它就是第一同態基本定理的交換圖（diagram）當然，要表示這個圖的交換性還得在中間畫個萌萌的圈（x)。這應該是數學本科生接觸到的第乙個交換圖了，不要小看這幅圖的作用，除了看起來很好看之外，它至少暗示了兩種現代數學中重要的技術手段：
商（quotient）和範疇化(categorization)。這裡重點要說的是後者。範疇(category)語言的大規模應用在我眼裡是繼集合化之後數學領域最重要的一步發展，它不僅僅嚴格了一些理論的基礎，而且讓數學家開始能」看「到不同數學物件間的聯絡了，研究效率高了乙個量級。
我們開始將關注物件從集合中的元素轉移到對象本身（object）以及物件間的聯絡（態射，morphism）。範疇化給人的感覺是非常代數的（別問我為什麼，感覺上好麼，感覺！），而且鑑於其重要性，建議你在大一到大二階段就開始接觸，對後續的學習會很有好處（也許有人會說它太抽象是不是不適合大一新生去學習，我的想法是往往抽象是簡化人思考過程的方式，不應該太過畏懼，而且這麼深刻的理論有什麼理由能拒絕它呢）。
推薦的參考書同調代數方法 (豆瓣)。只需要看其中的範疇部分就行了，其他的部分也就看個開心。當然關於範疇的參考書也有非常萬金油的推薦Mac lane的數學工作者必知的範疇學第2版 (豆瓣)，但是對你這個階段而言可能太詳細了，並不那麼利於培養感覺，所以還是推薦前一本。
第二階段（知識積累）：群的基礎有了就可以開始後面環模域以及各種交換、非交換、結合、非結合代數的學習了。推薦的話從萬金油入門-Atiyah的commutative algebra開始學習環和模，比單純找本像basic agebra那樣的代數書硬啃好多了，內容不多而且很實用。
域論的話不用太著急，如果你們學校有開設Galois理論或者面向高年級的抽象代數的話就跟著去上上吧，國內的代數課程設定（雖然國外的我不了解23333）比較少，而且時間很靠後，這點很糟糕。
如果群環模域這些基本代數結構你了解了一遍之後還是覺得對代數有興趣的話可以去看看同調代數，然後你就會發現你之前學習的範疇論發揮了巨大的作用，因為同調代數無非就是在模範疇與復形範疇裡發展起來的代數同調方法。同調是個區分數學物件的強大工具，發展於代數拓撲卻深刻影響著現代數學的各個領域。
學到了這個階段你多半可以暫停你的代數專精了，你還需要去補充一些幾何和拓撲相關的知識，因為沒有具體的例子來理解的話繼續學習代數就顯得很浮誇了，如果按有些人的想法直接去啃EGA，SGA，Harstrone啥的效率非常低而且除了裝裝逼就沒啥價值了- -。學些什麼並不很重要，因為知識永遠是學不完的，你需要的是找找你們學校幾何、拓撲、數學物理專精的老師，了解他們現在在做些什麼工作，然後印證你之前學習到的代數知識，看看有沒有什麼能觸到你的興趣點。找到興趣點之後就去找找這個領域比較新的文章來看看，這時候你看不懂是很正常的，你需要做的只是找到自己知識欠缺的地方然後繼續深入的學習。
然後的事情就全看你自己了，無論是選擇繼續在代數上發展還是將興趣轉移到別的方向都靠自己的選擇。
3樓：CB Zheng
對乙個大一新生來說，談不上什麼該學什麼不該學。正確的方法是什麼都要學！因為數學是乙個整體。
如果一定要推薦一套教程或體系的話，布林巴基其實很不錯。
4樓：韓冬
先別著急定方向，找點科普書看看，了解一下這些基礎理論是基於什麼想法以及怎麼誕生的。比如《代數的歷史》《微積分的歷程》這種。
5樓：
作為同專業學姐告訴你乙個比較殘酷也比較現實的情況數學不好學
尤其像題主似乎是對數學這項專業很有興趣想深入學習的態度下請你做到比高中還要認真還要刻苦
如果你是學數學專業一天專業課也許就有八節（至少我是這樣的…學渣的我日漸蒼老接近崩潰…）數學分析高等代數解析幾何概率論數學建模近世代數…
建議就是打好基礎因為數學這種東西是環環相扣丟了一環都是能讓你聽天書到崩潰的
數學分析這科作為重點和其他課都有很大的相關考研也佔比較大的比重大一新生有理想有抱負是好事
但願以後不要被數學的繁瑣枯燥打消積極性加油
學習數學應該怎樣下手？
老朱 我建議你買一本新的七年級教材，從後面的練習題做起，會做就過 不會做就認真這個內容學的知識點然後看例題，接著再做課後習題。如果看不懂建議你請乙個老師輔導，記住只輔導你不會的知識。 不請自來 我覺得我可以打保票說全國沒有哪個省的中考數學考試是考奧數的。所以先向你爸媽說一下不要學習奧數這種純粹業餘時...
請問數學專業應該怎麼學習？
小炯哥 大一感覺數分學的跟渣一樣，大二看了復變，再回過去看數分，就豁然開朗，分析屬於入門難，入了就簡單。代數屬於入門簡單，學深了難的，這個應該沒啥問題。相對來說這兩塊我覺得你自然就會，不用擔心。個人比較吃力的是拓撲，至今沒理清。前面那個大俠說實變看了一邊書就不用聽，真的佩服。 Yuhang Liu ...
學習控制專業應該選修那些數學課？
hao apple 作為一名飛行器工程師，介紹一下我平時數學用的情況 1,最常用的，加減乘除，用手機計算器，各種計算。2，其次的，常微分，線性代數，常微分方程，計算機數值方法。3，較少的，偏微分，偏微分方程，場論。平時主要運用這些數學知識，其實也不是特別複雜。 還是取決於你的具體研究內容，經典和現代...