1樓：劉煒每天在看什麼
讓我們從《拆彈專家2》開始講起。
在電影的最後，華仔被匪徒綁上了定時炸彈。
這個炸彈的開關由四個元件組成，預設了乙個排列組合來停止計時器。我們每次要按四個元件，每個都有5種可能性，所以是要嘗試5*5*5*5=625次才能開啟裝置。
第二個密碼鎖的密碼是四位的。從六種顏色（紅黃藍綠黑白）中選4種來確定環形鎖密碼。每一位都有6種可能性，所以是6*6*6*6=1296種密碼。
這個問題來自《初等概率論》隨機抽樣中的放回抽樣。
放回抽樣指每次將抽到的球在下一次抽球前放回箱中。最後問抽取N個球的不同方法。
公式：從有M個不同球的箱子中，抽取n個球且允許重複的置換的總數是
其中Ω定義為基本事件空間，或者樣本空間。
1，從有6個不同球的箱子裡，抽取4個球的有序不重複排列
取第乙個6種取法,
取第二個(6-1)種取法，
取第四個(6-4+1)種取法.
一共是6*5*4*3=360種排列。
記作如下公式：從M個元素中選取n個的排列數是
2，從有6個不同球的箱子裡，抽取4個球且不管前後順序的不重複組合是
最後總結，對於排列來說，只要各個元素的前後順序不同，就看作不同的樣本。那麼組合就是不管元素的前後順序，只要是同一元素組成的樣本，都視為同乙個樣本。
2樓：誠實的豬不戒
排列組合，具體可用「資源」去理解（雖然有些不全面，但暫且不談，後文詳論），其特點是「乙個蘿蔔乙個坑」與「坑少蘿蔔多」，「坑」作為一項稀缺資源，無法滿足所有蘿蔔的需求。
這裡假設乙個情境，乙個50人的班，每次大考，只有成績位列前10名的才有獎勵。50人搶10個名次，是不是就相當於，50根蘿蔔搶10個坑？是不是就相當於，50抽10？
當然，前10名的獎勵，可以是一樣的額度，就是無論你考了第一名，還是第九名、第十名，獎勵都一樣。那麼單從獎勵的那一方面來看，你考第一還是考第十其實並不重要，你有沒有考上前10才重要。
但假如老師覺得，前10名的獎勵都一樣，久而久之，成績保持前列的同學就會缺乏動力。因而表示，今後前10名的獎勵額度，會和名次掛鉤，也就是第一名拿最豐厚的獎勵，豐厚程度隨名次逐級遞減，第十名拿到手的獎勵最少（假設不會出現並列名次，如兩位第三名）。那麼，不單止有沒有考上前10重要，就連在前10裡頭排行如何也很重要了，整個獎勵機制因此變得更具有競爭性。
50抽10，如果是用第一種方式窮盡出所有獎勵人員的可能，便是「組合」，對應英文combination，這單詞其實翻譯為「混合」更合適些，因為前10名的獎勵都一樣，彼此不分，混合在了一起。又因為這裡，前10名的名次高低形同虛設，因而可以說，10個獎勵名額內部是沒有高下之分的、是「無序」的，是「平等」的。
如果用第二種方式，那麼所窮盡出的獎勵人員可能，便是「排列」，permutation。10個獎勵名額內部，是有「區分」的，是「有序」的，是「不平等」的。
再為第一種方式舉個情境：正值上班高峰期，公司樓下有50人急著乘坐電梯，而電梯僅能載10人。那麼這時電梯所載人員的可能，就是50抽10的「組合數」——C（50,10）。
同樣的公司，同樣的50人（這50人都是其公司銷售部的員工），年末的績效獎只設10個名額，而且績效獎有高低之分（第一名20w，第二名19W……），那麼年終獎的頒發情況，就有50抽10的「排列數」之多——P（50,10）。
（未完待續）
3樓：tao tao
今天正好回顧這個知識，一句話說明這個問題。排列就是和順序有關，組合和順序無關。排列就是從n個不同的元素中取出r個元素r個元素進行排序，那麼有幾種方法來實現這個操作呢，顯然有兩種方法，第一種方法分兩步，就是從n個元素中一次性取出r個元素，在對這r個元素進行排序。
第二種方法也就是按照順序一次一次地從n個元素中去取出r個元素，這種方法可直接計算出排列的個數，第二種方法顯然第一次從n個元素中取出乙個元素的取法有n種，第二次有n-1種，第r次顯然有n-(r-1)種取法。那麼根據乘法原理就有：n * (n-1)* ···* n-(r-1)這麼多種排列。
為了方便計算構造出如下的計算公式：
理解了排列，再來理解組合就容易很多了，組合就是無序性；先來看組合公式如下：
為啥組合公式要在排列公式的基礎上多除以乙個r的階乘呢? 可以這樣來思考，對於r個元素我們可以有多少種排列呢顯然是r!個排列，但是組合不考慮順序了，所以組合也就是排列的第一種方式的第乙個步驟，也就是只從n個元素中取出r個元素，不排序，所以就用排列的個數除以r個物件的排序數r!
即可得到組合的個數。
4樓：doubt3
理解排序組合的含義，可以先從計數公理出發
計數原則(axiom for count)亦稱計數公理，即數數的原則：1.數事物時，只要每個事物都數到，並且每個事物隻數一次，數的結果是惟一確定的乙個數，它與數的次序無關；2.
數事物時，可用其他事物代替要數的事物(兩事物間是一一對應的)，然後再數，數的結果不變；3.數事物時，數到最後乙個數，就是數的結果。但是數的程序是無限的，如果再有要數的事物，則還要繼續數下去，即自然數可以無限制地數下去。
5樓：
所謂排列組合其實就是這樣一句話：
排列，即順序地從n中取m個；組合，即不計順序地從n中取m個。
#因為我們去了m個（即從總數開始取），所以最終項在形式上寫作+1。
#因為我們取了m個，而m的排列順序顯然是m*(m-1)...*1。所以，當排除數列後即有組合。
補充1：
順序，即n*(n-1)...*1,即一開始有全部的選擇，每做一次選擇不確定的選擇就減少一次，直至只有乙個選擇。
排列，如上。
組合，如上。
補充2：
從邏輯上來講，先有順序，再有排列，最後才有組合。
6樓：季武聊
排列------內部有序 ：每個結果相當於乙個n元序偶。
組合-----內部無序 ：每個結果相當於乙個n元集合。
組合忽略了內部的有序差別，去關注高層的巨集觀集合個數。而排列既要考慮內部順序又要考慮外部巨集觀個數。給每個組合元素X其內部差異數然後求和==排列總數
7樓：瑞辰
首先需要理解「排列」：字面意義理解就是按照次序排成一列，其數學抽象符號一般用permutation首字母大寫P表示。其推導過程在上面的回答中已較為詳細，不再詳述。
主要在於對「組合」的推導，很簡單：既然組合不在乎次序，則「每乙個包含r個物件的組合」，可以產生「r的階乘」個不同的排列，例如，（a,b,c）這3個物件的組合可以產生6個不同的排列：abc，acb，cba，cab，bca，bac，因此排列數是其組合數的「r的階乘」倍，因此組合就只需要用排列數除以該「r的階乘」就可以了！
沒有那麼複雜！關鍵還是在於其在實際中的靈活應用！
8樓：
We found all the possible combinations of 4 that can be taken from 10 (10_C_4). Then we found all the ways that four letters in those groups of size 4 can be arranged: 4 x 3 x 2 x 1 = 4!
= 24. Thus the totalnumber of permutations of size 4 taken from a set of size 10 is equal to 4! times the totalnumber of combinations of size 4 taken from a set of size 10:
10_P_4 = 4! x 10_C_4.
舉個栗子：
10_C_4（組合）*（4！）=10_P_4（排列）簡單的說就是，在這裡的乙個組合：在10個數之中拿出4個數的乙個組合，並且是沒有順序的乙個數的集合。
但是對於每乙個組合而言，都有4！這麼多種排列數。
所以對於所有的組合數而言，10_C_4乘以四的階乘倍就是所有的排列數
這就是Permutations和Combinations的關係。
9樓：西紅柿雞蛋湯
很多公式都有乙個立足點去幫助我們理解公式的現實意義。
我以組合數求和公式舉個例子，
你可以想象有乙個位數為n的二進位制數，對應1到n個數字，位數為1代表選擇這個位數的數字，0代表不選。那麼所有的數字都有選和不選兩種狀態，剛好對應所有的二進位制數字，而位數為n的二進數很明顯有2^n個。
有時候知識與知識之間有著意想不到的聯絡，
我們都知道有個二項式定理
我們假設其中的a=b=1，也能得到組合數求和的公式。
10樓：猴子
1.排列
排列是指從n個物件中取出r個物件，考慮這幾個物件順序的情況下，求出這幾個物件的選取有多少種情況。（與順序有關）
對於排列數，可以看做「分步解決」的問題，也就是說：
第1步，從n個物件中選取1個，有n種選擇方法。
第2步，從剩下的n-1個物件中選取1個，有n-1種選擇方法。
第3步，從剩下的n-2個物件中選取1個，有n-2種選擇方法。
第r步，從剩下的n-(r-1)中選擇1個，有n-r+1種選擇方法。
為什麼是減去（r-1）呢？因為到第r個人的時候，發現自己前面有r-1個人已經消耗了r-1個選擇了，自己的選擇餘地程式設計n-(r-1)，這和第乙個人發現前面有0個選擇已經消耗是一樣道理。
那麼這k個步驟結合到一起，就要n(n-1)(n-2)...(n-k+1)種選擇方法，表示成就是排列數公式：
其中n!=n(n-1)...3*2*1，也就是說，將從n到1的數字全部相乘。
其中0！=1，可以理解為0個物件只有1中排列方法。
2.組合
組合是指從n個物件中取出r個物件，不考慮這幾個物件順序的情況下，求出這幾個物件的選取有多少種情況。（與順序無關）
將排序取消，只在大面上看取出的物件，則情況變少除以r個物件的排序數r!
集合（Set Theory），排列組合（Counting ）的動態演示可以看這裡：
組合排列的應用可以看這個：
人工智慧時代，用概率思維發現人生機會
統計概率思維：決定你財富的商業模式
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