1樓：
說一些在課本上不太看得到的東西吧。
1. 乙個比較正常的系統的配分函式大概是 Z ~ exp(N). 所以自由能, F ~ 1/N ln Z 在熱理學極限下是存在的。這就是為什麼要考慮自由能。
2. Legendre Transform 在熱力學極限下很自然地會出現。
比如，考慮 F(h) ~ 1/N ln \sum_ exp(-H) exp(\sum_ \sigma_i h). 那麼對於任何system size N, 可以得到 F(h) ~ 1/N ln \int dm exp(N * (m * h - G(m)), where m = 1/N \sum_i \sigma_i 即磁矩, 以及 G(m) ~ -ln (probability of observing m under the distribution ~ exp(-H) ) .
考慮F(h) ~ 1/N ln \int dm exp(N * (m * h - G(m))。 在熱理學極限下，N極大，且是exp的argument, 這就導致 F(h) ~ 1/N ln \int dm exp(N * (m * h - G(m)) ~ sup_ (m * h - G(m)). 即，F(h) 是 G(m)的Legendre 變換。
而 G(m) 的物理意義非常顯然，即磁矩在零場下的自由能。
這就是為什麼不同自由能轉換之間都是Legendre.
3. 有趣的是F(h) 描述的是外場下的系統自由能，但這其實被系統在零場下的表現 G(m) 完全給出。 但是G(m) 在實驗中是無法看到的，因為實驗裡通常看不到m的分布，只可以看到它的均值。
(m 的分布是~ exp(-N G(m), 大概有乙個1/sqrt(N) 的關度，但當N很大時，這個寬度實在太小了。) (btw, 這就是為什麼method of steepest descent 可以 work)
4. 人們通常會考慮 F(h) 的Legendre 變換, G1(m)。這不一定和原G(m)相等。
因為原G(m) 不一定convex。G(m) 的Legendre 的 Legendre， 即G1(m), 總是G(m) 的convex hull。G1(m) \not= G(m) when G(m) 非凸，而這其實意味著系統出現了spontaneous symmetry breaking.
自發對稱破缺在Legendre下很清楚: 當F(h) 在 h = 0時出現乙個singularity的時候，它的Legendre, 即G1(m), 會變得很奇怪。（自己手動算算|x|的勒讓德變換，就知道我是什麼意思了 XD)。
自發破缺可以這麼被看出來。
5. 在場論下，G(m) 和 F(h) 在零場下的導數可以被費曼圖算出來，G(m)的每一階的費曼圖和F(h)的每一階的費曼圖的拓撲結構上有很緊密的聯絡: G(m)的圖都是F(h) 的圖的1PI (one-particle irreducible).
數學上很好證。但具體有什麼物理原因，我不太清楚 tho. 希望有同學可以科普下, XD.
(I guess 應該是重整下的原因，但具體怎樣，就不太知道）。但不論物理原因如何，這導致了G(m)的圖比F(h)少很多，所以相對好算很多。
2樓：cooper edward
忽略課本的推到。。。記得G的表示式。。那就是描述熱平衡系統所要的所有的資訊。。。。
自由能裡面的能量和熵就像動能和勢能加起來的總能量。。至於熵的含義。。每個學科的理解都不同。。
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