1樓：鹽選推薦
說到幾何問題，大家腦海中浮現的多半是中學時的那些幾何證明題和計算題。然而這一次，讓我們完全拋開那些對於某些人來說可能並不愉快的回憶，轉而去欣賞一些千奇百怪的幾何構造。回答這些問題大多不需要艱深的理論基礎，只需要動腦發揮想象力，再動筆畫一畫，或者動手剪一剪，擺一擺，折一折，說不定就可以找到答案了。
即便是看了我給出的答案，也不妨在旁邊的空白處畫一畫，看看有沒有其他的方案。
先來看一些與圖形分割有關的問題吧。
1. 能否把乙個等邊三角形分成 3 個面積都相等但形狀互不相等的三角形？
能。如下圖所示。
2. 如何把乙個正方形分割成 9 個小正方形？想出至少兩種不同的方法。
第一種方法很好想，如下圖所示。
第二種方法就不好想了，如下圖所示。
這裡面其實包含了 16 種不同的方案，如下圖所示。
接下來的問題或許更具有挑戰性：你能再想出一種與上面給出的所有方案都不同的方案嗎？答案如下圖所示。
這裡還有乙個很有意思的問題：把乙個正方形分割成 n 個小正方形，這對於哪些 n 來說是有解的？答案是，除了 n =2, 3, 5 以外，對於其他所有的 n ，把乙個正方形分割成 n 個小正方形都是有可能的。
對於 n 為 1, 4, 6, 7, 8 的情況，分割方案如下圖所示。
對於更大的 n 呢？注意，每次用橫豎兩條線把乙個小正方形分成 4 個更小的小正方形後，我們都會讓這個圖形裡的正方形數目增加 3 個。因此，我們只需要在 n =6 的方案上增加兩筆，就能得到乙個 n =9 的方案；只需要在 n =7 的方案上增加兩筆，就能得到乙個 n =10 的方案；只需要在 n =8 的方案上增加兩筆，就能得到乙個 n =11 的方案；只需要在 n =9 的方案上增加兩筆，就能得到乙個 n =12 的方案……於是，其他所有的情況都被我們解決了。
3. 能否把乙個正方形分成大小互不相同的 7 個等腰直角三角形？
答案是肯定的，如下圖所示。
4. 有沒有什麼等腰三角形能被分割成兩個小等腰三角形？找出 4 種這樣的等腰三角形。
答案如下圖所示。其中，最好找的是頂角為 90° 的等腰三角形，不太好找到的是頂角為 36° 的等腰三角形，更不好找到的是頂角為 108° 的等腰三角形，最不好找到的是頂角 x =(180/7)° 的等腰三角形。
5. 能否在紙上畫乙個鈍角三角形，然後把它分割成若干個銳角三角形？
首先，想必很多人已經注意到了，我們必須在鈍角裡引出一條線，如圖(2)所示，這樣才能把鈍角給消除掉。接下來，則是很少有人意識到的一點：我們不能讓這條線一直延伸到對邊，否則原三角形將會被分成乙個銳角三角形和乙個鈍角三角形（或者兩個直角三角形），這並不能解決根本問題。
也就是說，這條線在到達對邊前就必須得分岔。最後乙個關鍵的問題就是，分成幾岔？顯然，像圖(3)那樣分成三岔是不夠的，因為這樣只能把乙個周角分成 4 份，它們不可能都是銳角。
為了讓所有的角都是銳角，我們至少要讓這條線分成四岔，如圖(4)所示。最後，再把一些沒有連起來的點連起來，我們就得到乙個像模像樣的答案了，如圖(5)所示.
2樓：高爾基
wapbaike.baidu.com/item/啊哈！靈機一動/12297377?adapt=1&fr=aladdin
這是小學奧數剛剛引入中國時，大量題目引用的一本書，實在是太過癮了，都是那種考驗大腦迴路一下子靈光乍現的。
3樓：
連扔n次硬幣，求不連續出現兩次正面的可能情形有多少種？（斐波那契數列相關）
證明：其中f1=1,f2=1,f(n+2)=f(n+1)+fn（也即斐波那契數列）
對於乙個實等差數列，給出其存在乙個子列成等比數列的充要條件；對於乙個等比數列，給出其存在某個子列成等差數列的充要條件，並予以證明.
是否存在2015個不同的自然數，使得任取它們中的兩個數a,b，均有|a-b|=(a,b)成立.
（(a,b)表示a與b的最大公約數）
4樓：
大多數NIM遊戲，都很適合閒聊。請問：玩家A有必勝策略嗎？要怎麼分配和取石頭才能保證自己有把握取勝？
這個題目的解答非常精妙。用了異或的概念。
再比如，
2、N塊石頭排成一行，每塊石頭有固定的位置。兩個玩家依次取石頭，每個玩家每次可以取其中任意一塊石頭，或者相鄰的兩塊石頭，石頭在遊戲過程中不能移位，最後取光石頭的人輸，A先手，B後手，雙方都採取最佳策略，遊戲的勝負如何？
這個問題我也不知道怎麼做，可參見
一種NIM遊戲，先手方在N為多少時的必勝策略？
5樓：
無理數的無理數次方可能是有理數嗎？可能。
證明如下：如果根號二的根號二次方是有理數，那麼證完。如果根號二的根號二次方不是有理數，那麼它就是無理數了。
那麼根號二的根號二次方，括起來再根號二次方，就是根號二的平方，得2，是有理數。 QED.
注：sqrt(2)^sqrt(2) 是乙個無理數，但是根據維基上的描述，目前沒有簡單的證明。
這個證明非常的有趣。詳情參見維基百科Law of excluded middle
6樓：十一太保念技校
2023年IMO的第四題，在豆瓣上看到的。很精妙的那種小題目。
考慮n*n的格點，格點的一角在座標原點，求剩下的點至少要被多少條不過原點的直線覆蓋。
答案是2n-2，換種問法就是假如乙個多項式函式在那些格點上取零，而且在原點不為零，那麼這個多項式函式至少是幾次的。
7樓：肆葉楓
有238，228,298，139，188，98,146,86。。。是8腫商品的單價，，，每種商品的單價固定，購買的數量不限，可以無限組合，但是最後的合計數要構成以下數字，，，12865,12869,12386,12350；11657；11220；
商品任選！
8樓：
1. 分別用4/3/2個4得到64，可使用任何不含數字的運算子（含數字運算子可作為占用一數字使用）
2. 3個4得到任意整數，任意運算子
3. 數列1,2,3,4,5,6,……的下一位是幾，說明其規律
9樓：
我一直記著的乙個問題：
隨機相遇策略：假設乙個商場有N家店鋪，現在你和你老婆走散了，在沒有任何通訊工具的情況下用什麼策略能讓你們盡快見面？（在此策略就是去乙個房間，然後隨即等待一段時間，如果沒有相遇再去下乙個房間等待……依此類推。
「盡快見面」定義為：使得你們從走散到見面的時間的數學期望最小），注意你和你老婆之間沒有任何通訊辦法，所以你們必須採用相同的策略，「站在原地不動等對方來找我」等方法是不行的。很久之前看過的乙個問題，很實用但是答案記不住了（似乎目前只對三個房間的問題有解，最優解是8/3個單位，求哪位老師驗證下）。
10樓：
0.333...的無限迴圈+0.666... 的無限迴圈和1的大小關係！
0.333...=1/3
0.666...=2/3
1/3+2/3=1
這個我常拿來閒扯，大部分一聽就說怎麼都比1小點。
這時候我都會痛心疾首的說：真是悲劇啊，這麼多年學費算是打水漂了！
（誰能告訴我QQ輸入法裡怎麼輸入上面帶點的數字）
有哪些讓數學專業抓狂的 月經數學題 ？
乙個包間裡有3個基佬 A，B，C 其中A有愛滋病。每次搞傳染概率均為0.8，現A搞了B和C，然後B又搞了C，問C感染愛滋病的概率。大會所裡有n個基佬，其中a1有愛滋病，感染率同樣0.8。現a1搞了a2到an所有人，然後a2搞了a3到an所有人，然後a3.直到a n 1 搞了an，求此時an感染愛滋病...
有什麼搜題軟體適合大學數學系？
胡桃 chegg樂色，好多高回答的人瞎幾把寫，還要錢 aops和brilliant都是高中的，aops做得比較大，美國那邊amc和aime都是他承辦的。這些比賽的答案比較詳細，brilliant的wiki page做的很精美，可惜內容比較入門。 春花 世界上最好的數學問答平台，嚴謹，無私，大牛雲集 ...
考研數學選擇題有哪些實用的技巧？
雲逸未來考研教育 一 推演法 從題設條件出發，按慣常思維運用有關的概念 性質 定理等，經過直接的推理 演算，得出正確結論。適用物件 對於圍繞基本概念設定的，或備選項為數值形式結果的或某種運算律形式或條件為某種運算形式的，常用推演法。這種方法應該是最常用的，並且所有的題都能通過這種方法解出來，大家應該...