1樓：趙者也
最開始定義都是很松的，很多都是跟著感覺走寫下的定義。
但是用著用著出現問題了，用著用著出現大問題了。
導致科學家不得不對理論進行修補，所以一步步就變成現在這個樣子了。
舉個例子，最開始古希臘的人認為所有的數都是有理數，不存在無理數。
根號2，圓周率這樣的數字出現後，不得不把數域擴充到實數。
有理數，無理數不能統一，不得不用戴德金分割重新定義實數。
2樓：
我曾經也覺得學習乙個東西，甚至做一道題，我自己覺得「這個一看就是對的」，甚至「反正差不多就是這樣」然後能得到要證的這個結論就足夠了。我覺得idea比細節重要也更有趣的多。
在美本學數學，上實分析時，有次在辦公室教授和我說：如果你覺得乙個東西差不多對就行了，then don』t do math.
在大家說話通常特別禮貌，教授沒事就誇獎，什麼問題都會拐彎抹角的說的美國校園，這是很嚴厲的話了。
當時我驚愕並伴隨著不屑，並覺得這個教授一板一眼的作風是由於他的水平不夠高（lol，真的是不知天高地厚）。
後來，從學生慢慢過渡到開始做「real math」時，我逐漸意識到，做數學不是課堂上「看誰先反應過來這是什麼意思」的比賽，或者奧賽這樣「看誰能把這個題湊出來」（美國奧賽打分系統通常還挺注重idea，比如你猜對了結果中間「亂寫一通」但是「大意對的」，會給一些分）的比賽。
而是你說的每一句話，你都要能對它負責。在什麼情況下，有什麼樣的事情成立，要非常清楚。別人在這樣的情況下構造出的例子，就一定是對的，宇宙爆裂了也是對的。
「凡你能說的，你說清楚」
3樓：靈動之翼
我舉幾個例子：
1.已知f(x)在[0,+∞)上連續且無界，請問x趨於無窮時f(x)是否一定趨於無窮？
2.已知當x趨於無窮時f(x)的導數趨於0，請問x趨於無窮時f(x)是否收斂？
3.在[0,+∞)上非負、無界的連續函式，它的無窮積分是否一定發散？
如果憑感覺的話，很多人會認為這三個問題的答案都是「是」吧。但事實上這三個問題答案都是「否」！
第一題的反例：f(x)=x|sinx|
第二題的反例：
這個函式的導數是可以無限接近0的，但函式值始終在0和1之間變化，不收斂。當然這個函式不是處處可導，但只要把尖點都修個圓角就處處可導了。
第三題的反例：
很多看似正確的理論有可能是錯誤的。當然，也有些人認為上述的問題答案明顯是「否」，這很正常，事實上又暴露出乙個問題：你「感覺」顯然正確的東西，別人不一定和你相同感覺。
所以如果沒有嚴謹的數學證明的話，即使看起來顯然正確的東西，也不能相信。
事實上我覺得正是數學的嚴謹性，使得它得以成為其它自然科學的基礎。
要使其它學科的內容準確無疑和真實無誤，就應當將數學作為所有知識的基礎。——羅傑·培根
我再舉個簡單的例子。題主覺得極限是個很顯然的東西，那麼這個數列：1/n sinn，它有沒有極限？
好像無論n多大，它都在振盪呢。之前就有同學問我這個數列是否收斂，我的回答是：你看看它是否滿足極限的定義。
這個數列雖然不會停止振盪，但它的絕對值確實可以比任意給定的正數都小，這說明它的極限是存在的。如果光憑感覺，誰能說清楚它收不收斂呢？
再說，像夾逼定理、極限的保序性、保號性等等，如果沒有極限的嚴格定義，怎麼能保證它是對的呢？如果沒有夾逼定理，你怎麼計算sinx/x在0處的極限呢？沒有這個極限，你怎麼算三角函式的導數呢？
……你可不能說「我覺得它顯然是對的」，剛才已經說了，很多看上去「顯然」的東西其實不一定正確。那麼，如果數學大廈的最底層都不嚴謹，你怎麼建得起這座大廈？
最後舉乙個歷史上的例子。傅利葉發現傅利葉級數以後，想知道什麼樣的函式可以展開為傅利葉級數，但是……當時還沒有極限的嚴格定義，他用了一堆「玄學」的方法，最後得出的結論好像是所有週期函式都可以吧，但在現在看來這顯然是錯誤的。可見，沒有最底層的數學概念的嚴格定義，根本無法對與之有關的數學結論作出嚴格證明。
4樓：劉杳
反傳統的觀點：的確沒有必要，起碼不要上來就學，也不要自大的認為是無用的玩意。（不誇張地說，所有的定義都是先有足夠多的例子，定義出現時就豁然理解了。）
大學數學的基礎課程已經是千錘百鍊過的，絕對有用的東西。但多數人不會走到足夠遠，看清為什麼需要這樣＂自找麻煩＂。即使是數學博士了，多半也只是對自己熟悉的幾個領域可以洞悉來龍去脈。
（青年教授開始教本科生也是為自己夯實基礎。）
等你多走幾步，感受到之前的思考方式比較吃力了，自然會覺得前人總結下來的東西很好用，也很好懂了。壞處是自己可能被帶偏了，所以還是不要太花精力在＂捷徑＂上。
5樓：王文博
我經常在知乎上看到乙個日經題：
為什麼0.9999……=1？如果稍微接觸過現代的分析學和實數理論，就會發現這是個很顯然的問題。
即使對這個數學問題不感興趣，如果不了解許多數學的嚴格化表達，在學習金融、統計學習這些應用學科的時候依然可能會問出一些「not even wrong」的問題。而這些困擾，可能會對該學科的深入理解產生非常大的影響。
人類的直覺終究有限，數學能讓我們「看」的更遠。
6樓：
建議答主翻翻數學史，看下第二次數學危機那段，就知道極限這些定義是無數數學家和物理學家踩過多少坑之後才完備起來的。
數學最重要的特點就是如果選定了一套公理，我能確保我推導的東西都是對的，從而用所有數學匯出的結果都是心安的，這就是嚴格的意義
7樓：宇亓
數學定義的那麼嚴謹是為了防坑的。
如果你喜歡數學，那建議學習嚴謹的證明。
如果你僅僅是把數學當做工具，那可以不用去嚴謹的學，但一定要去踩坑。就像前面一些回答說的，去找找反例。不過我估計等你把這些坑踩了一些後就會產生出學習這些嚴謹證明的慾望了。
8樓：及時物語
1 熱愛數學、為了學數學而學數學的 （往往是數學專業的） 那多半會選擇精益求精在探索本質的過程中在更深層次上了解相關知識的來龍去脈
2 以應用為目的的，為了實現某些現實需要而採用方法、演算法的（往往是工科，比如我），可以不必追求證明，甚至可以刻意遠離所有的「證明」而是相信數學家們的工作直接應用結果。這樣做不是說證明部分的過程沒有用，而是能高效節省時間，而抓住最重要的核心——結論（一般人難以記住太多繁複內容學會也是忘）前提是必須正確地運用這些結論、演算法。而且諸多演算法還沒有經過嚴格的證明和完整的理論，但已成功運用在實際工作中。
9樓：小屁孩
當然有必要。有些很多東西是違背直覺的。比如阿基里斯悖論。
在比如相對論和量子論。都是違背直覺的例子。不論你覺得多麼顯然成立的結論，只有制定出框架，在這個框架用嚴格證明其正確，才可以讓我們在這個框架中放心的使用。
10樓：一盤隆
題主這麼題目不知道是不是剛開始學高數。
當初我也有這種感受，但是後來發現乙個問題：
看一本書前幾頁定理覺得很顯然，證明就都略過去了。
但是後來突然某個時刻你看到了乙個非常反直覺的定理，這個定理卻是由前面自認為很顯然的概念和定理所推導出來，這個時候就會體會到理性思維、邏輯嚴密的重要性。
11樓：
我覺得嚴謹不嚴謹都不是主要的問題，畢竟你又不搞數學研究，這不搞清楚就往後看的主要 bug 難不是在於看任何一本書最後結果都是：顯然，顯然，顯然，顯然，天書，天書，gg... 嗎？
（這麼幹過的都懂）
12樓：
如果你是數學系的，毫無疑問有必要；
如果你是非數的，強烈建議你認真看定義定理證明，否則，學到後面基本只會背公式，完全體會不到數學的美感。而且，當你需要高數以外的數學專業知識時，你會發現你的分析是一片空白。
也不是說不看就不行，只是會學的很難受，很無聊
13樓：我啥也不知道咧
有三個問題：
1.是否存在從R到R的連續滿射？
2.是否存在處處連續但處處不可導的函式？
3.是否存在乙個R到R上的連續函式，任何乙個區間都不是它的單調區間？
三個問題的答案都是存在的。
14樓：宙宇001
如果你不嚴格地學，那麼你可能會有一些很容易進入的誤區，而且自己總是不能思考出來為什麼出現這種情況，比如
典型錯誤1：極限不存在.
典型錯誤2：
典型錯誤3：由 得到 所以 或 .
典型錯誤4：由 於是 所以 那麼就有哈哈，這樣學數學快樂多很多啊！
15樓：WlGHo
作為乙個曾經在數學系飽受摧殘一年的學生，可以很負責的告訴你很多都不顯然，只是一廂情願555
比如： 是不收斂的，而 是收斂的。這是級數部分兩個最常用的標桿式級數這倆顯然嗎？
光靠肉眼看顯然是不行的吧。想象當你沒學的時候，你可能認為一直加嘛，好像是可以加到無窮大的哎；感覺又好像隨著逐漸縮小到零，加不動了呢。。
所以只有通過證明才能解釋，對吧
16樓：禁與千尋
一開始是沒有必要的，就這麼用著，沒啥問題，大家也這麼用著，也沒啥問題。
直到某些小機靈鬼發現了問題，告訴你你有問題，那麼你用還是不用呢？
用，我都說了有問題，你還用？
這就和知乎一樣，你回答問題如果不嚴謹，就有一群人盯著你。
你需要嚴謹到一字一句都準確的不能再準確，甚至還要補充說明才行。
17樓：丘丘醬
相信我，數學並不是做作或裝b，其本身是很優美的。而且沒有這些定義很多是說不清楚的建議參考實變函式我猜你剛學大學數學而且你們學院對這要求不高所以才會有這種感想在實變函式中很多結論都很不顯然有的甚至似乎有點違反常理但是如果只是為了簡單地算算微分積分那嚴謹定義是無關緊要這是需要搞清楚的
18樓：
我理解為你是在問自己有沒有必要，而不是代表廣大勞苦大眾在問。基於這個理解與你提問中的感受，那我覺得沒必要。當你覺得需要的時候，自然就有必要了。
可能你永遠都不覺得需要，那就永遠沒有必要。
就像對於買菜做飯，我覺得點外賣，每天不重樣是自然的生活方式，會煮面偶爾應急就行了。這樣安詳快樂的日子一直延續到了疫情的來臨。
不說了，早起煮飯，吃完搬磚！期望世界和平，再也沒有自己買菜煮飯的必要！
19樓：月夢琉璃
直覺是含糊不清的東西。
證明是嚴格，嚴謹的。
數學是嚴密的學科。如果是專門研究數學，不學證明豈不是笑柄。
即使是把高數作為乙個工具，如果連極限都不會證，總是不好的。
20樓：執悲今厄
好問題。
一開始，在使用這些概念時，科學家也不嚴謹描述，直到他們發現了無法解決的問題，於是嚴謹描述，然後解決了那些問題。
然後，他們給學生講課，直接講嚴謹描述的結果，所以導致了學生抗拒，不愛學——這是正常反應。不抗拒的，才是不正常的人。
錯誤的講課順序：嚴謹定義→普通問題→特殊問題正確的講課順序：不嚴謹定義→普通問題→特殊問題→嚴謹定義→特殊問題如無必要，勿增定義。
教科書的編寫方式需要經歷一次規範化革命，就在今明兩年。
動量定理中的一些問題是不是存在反例，例如為什麼這題選c不能選D
七八個星天外 這類理論分析的題目如果關於動量的方向理解不夠深刻可以用特殊值法理解。比如我們可以大膽假設原始速度v0 0 m 0.5M，再看看D的分子答案是不是就很容易出來了。其實這個題不難理解，噴出的動量方向是向後的，那必然會給剩餘部分加上乙個反方向的動量。原有的整體動量分為兩部分，一部分繼續向前，...
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