1樓：爆炸鐵鎚
乙個topos從定義上來說就是乙個笛卡爾閉範疇+有有限極限+有子物件分類子。至於拓撲空間的例子，大家都知道所有拓撲空間和連續函式構成的範疇 不是笛卡爾閉的，因為辦法對任意連續函式空間賦予一種拓撲。但如果限制到一些特殊的空間，比如Compactly Generated Hausdorff Spaces（=Kelley Spaces），賦予緊開拓撲，則能構成乙個笛卡爾閉範疇(Maclane, page187, theorem3)。
但這些範疇仍然不是區域性笛卡爾閉的（Locally Cartesian Closed），區域性笛卡爾閉範疇（對任意object A，Slice Category over A都是笛卡爾閉範疇）是乙個比笛卡爾閉範疇更強的條件，而topos總是區域性笛卡爾閉範疇。能構成區域性笛卡爾閉範疇或topos的拓撲空間範疇可以參考這篇文章，Peter Johnston. On a topological topos.
能否結合物理學例項具體談一談拓撲斯（topos）時空觀是什麼樣子？
Cedar 這方面，我認為丘成桐有很深刻的見解，數學和物理學是一體的，都是在解釋這個宇宙，只是從不同的角度來觀察和分析，最終可以相互印證。 本質上，這些數學模型的出發點還是 實數可以很好的描述時空嗎？現在的物理學對時空的理解還是四維流形，而流行的基礎是實數。那麼問題就是，實數可以很好的來描述時空的連...
拓撲空間中滿足拓撲基條件的開集族生成的拓撲是原來拓撲空間的拓撲嗎？
鬼畜的氫原子 條件 1 2 只是集族B是一拓撲基的充要條件，換句話 現有一集合X，B是X的一系列子集，那麼 由B確實生成乙個X上的拓撲的充要條件便是 1 2 而 1 2 顯然不是B生成已有拓撲T的條件，因為 1 2 條件和已知拓撲T沒有半毛錢關係 定理 X，T 為拓撲空間，B為X的乙個開集族，那麼B...
如何淺顯易懂的解釋度量空間和拓撲空間以及範數的關係？
七夜 拓撲空間是最一般的。給出乙個全集X，它的一些滿足某幾個特定性質的子集族就組成X上面的乙個拓撲。此時這些子集就成為X上的開集。距離空間可以想象為乙個空間的任意兩點間都有乙個距離。而距離自然應滿足對稱性和三角不等式等等，這些可以用歐式空間來想象。距離空間上的距離可以誘導出它上面的乙個拓撲，然而並不...