1樓：Yi Min Li
非線性波方程的global solution的存在性。在非線性項為二次型時，假設維數為n：
n>=4，對於足夠小的初值，global solution存在，證明使用了klainermann-sobolev inequality和energy method等估計。
n=3, 當非線性項滿足零條件時，我們才能確定對於足夠小的初值，全域性解存在。用到了如Hormander inequality等更複雜的估計。
至於為什麼n=3是個臨界點，是因為用continuity argument時，估計中有一項～（1+t)^((1-n)/2)的項的積分需要被控制。
感興趣的可以看看sogge的書，不過個人覺得這個東西太硬了，都是計算。
2樓：
強答乙個關於圖頂點染色的命題：
定義： Gc, m =（V,E）= 乙個V (頂點數）最小的c色圖，它含Km, 但不含K（m+1）子圖。
顯然的，在三維空間和一維空間，V（Gc,m） < V（Gc,m-1）都能成立。
但不能直接推論它在二維空間成立（猜測目前我們缺少乙個基礎定理，它是什麼呢？我總感覺它是存在的。希望有能力的研究者思考一下。）。
如果成立，再假設5色平面圖存在，則有V（G5,4） < V（G5,3），可得最小平面5色圖必然含K4子圖，結合已知的乙個結論（最小平面5色圖不可能含有含K4子圖），推出矛盾，故四色定理得證。
其實V（Gc,m） < V（Gc,m-1）在二維也是成立的。 從四色定理反推，即可證明。
3樓：yang shen
我記得繩結問題是這樣的，二維及以下不足以形成繩結，四維及以上沒有死結（都能拉成一根直線），只有三維才有各式各樣的繩結。
好吧，既然有大佬表示太抖機靈了，我就解釋一下，一般來說，N維球能在N+2維空間內扭結，且必能在N+3維空間內解開。對於繩結，就是N=1的情形。而弦論，就是高維扭結理論的應用。
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