1樓：
大佬們都指出問題了，我來根據問者的思路提供一種新的方法（類似方法我以前在AP巴郎上見過，so credit to whoever wrote Barron）。
首先根據對稱性可得質點在x軸上。
將M挪到左邊，可得如下式子。而他的意義就是所有運動的粒子可被簡化為乙個質點（不考慮旋轉）。
M_s為整個「餅乾」的質量，而M為被咬一口「餅乾」的質量，最右邊求和求的是被咬掉的「餅乾」的質心。
設面密度為 :
As desired!
2樓：Huxley
1、普通的條帶法
這裡給出水平條帶法通常的做法。為此先寫出左封口圓弧和右封口圓弧的方程：
那麼乙個水平條帶的微面積：
該水平條帶的微面積對原點取矩：
據此計算圖形質心的水平座標為：
2、題主的條帶法
按照題主的思路，先等效成條帶質心連線圓弧，再基於連線圓弧求總質心位置，其實並無不可。為此寫出條帶質心連線圓弧 的方程：
微分之：
計算 的微弧長：
計算 上的「面積」線密度：
計算的水平總質心：
可見也能獲得正確的結果。題主錯在下意識地認為條帶質心連線圓弧 具有均勻的線密度 :
而實際上：
這就是癥結所在。
3樓：
等效時要不斷檢查密度分布情況. 如圖設邊界 易得 可設 則 其水平分量為
簡介中的等效實際上就是 式. 具體地，設等效物件為 則
其中 就是指橫截線段的質量，由於面密度 恆定，其矢徑恰好由中點即 表徵. 顯然 設有向弧長 由於 顯然 的線密度 不是常量，即質量不是均勻分布的.
4樓：有丘直方
後面那個等效是錯的, 你應該等效成乙個按 分布的質量是均勻的半圓弧, 而不是乙個按 分布的質量是均勻的半圓弧.
數學上就是下面這兩個式子的區別:.
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