1樓：乘風揚帆
整個思路基於高讚 @王贇 Maigo 的回答，略有細化：
1）基於性質：對矩陣行或列進行線性變換，矩陣行列式的值不變。
將A行變換為對角矩陣，有A'=EA；同理對B列變換為對角矩陣，有B'=BD。E與D均為置換矩陣。
基於性質，有det(A)=det(A')、det(B)=det(B')。
同理，有：det(AB)=det[E(AB)D]=det[(EA)(EB)]=det(A'B')。其中AB視為乙個大矩陣，對其先行變換後再列變換，行列式的值依然不變。
2）基於性質：兩個對角矩陣相乘後再取行列式值，與兩個對角矩陣分別取行列式值後再相乘，結果相同。究其原因是因為，對角矩陣無論相乘還是取行列式，都是對角元素相乘。具體如下圖所示：
因此有：det(A'B')=det(A')*det(B')。又因為上面第1點，det(A)=det(A')、det(B)=det(B')。
3）故而結論是：det(AB)=det(A'B')=det(A')det(B')=det(A)*det(B)
2樓：
用初等矩陣（初等變換）解釋就可以。說一種取巧的方法（不怎麼揭示本質的）：設 令
經過 次初等列變換（把乙個方程的倍數加到另乙個方程）消去右下角的 可得：
3樓：
represents the unit n-dim hyper-cubic.
And we project this hyper-cubic into space B, then A.
4樓：雲在天上飛
這幾天剛在看Gilbert Strang的，摘錄一下書裡的方法（順便推薦這本書，講得很好）。和另外乙個回答——Peter Lax先用三條性質定義了行列式，然後驗證乙個函式對映符合這三條性質，所以也是行列式——一樣，只是性質和細節略有不同。
直觀地理解，行列式是矩陣的Volume（體積），比如，單位陣的行列式總是1，在三維空間裡就是乙個單位立方體的體積。定義的三條性質，就是定義了計算這種體積的計算方式。我先把結論說明，然後直觀地去理解一下。
三條性質定義了行列式（determinant）：
1.的單位陣的行列式為1。
2. 任意兩行交換，正負符號改變
3. 行列式是單獨每一行的線性函式（其他所有行保持不變）
線性函式，就要滿足加和標量乘法，即
下面證明：
當時，考慮比率，容易檢驗符合性質1，2，3：
1. 當A是單位陣，則
2. 當A交換任意兩行，則AB也交換了任意兩行，所以改變了符號
3. 當A的某一行進行線性變換，則AB也會進行相應的變換，也是
所以就是行列式。當時，上式也滿足。因此
理解直觀地講，行列式就是定義了體積（Volume），第1條性質和第2條性質保證了這一點。
首先第1條性質定義了任何維數空間的單位「立方體」的體積為1，第2條性質能夠處理任何變化了的「立方體」的體積，比如
而第2條性質，符號定義了左旋和右旋的特徵。
因此，感覺這三條性質足夠「完備」。
另乙個答案 @貓頭鷹green 中提到了「行列式的本質是線性變換的放大率」，也是乙個很好的理解，本質其實一樣。讓我想起了在座標變換的時候，雅可比矩陣的行列式。
5樓：2prime
1.把矩陣行列式看成反對稱線型函式，乙個A看作乙個變換這個證明在李囧生有，可謂是最漂亮的證明
2.看作線性變換下de
==所有題目用初等變幻是最不優雅但是最有效的
6樓：靈劍
任何乙個矩陣都可以通過高斯消去法寫成一系列：交換兩行的；或，將一行乘以係數加到另一行的初等變換矩陣與乙個上三角陣的乘積
上三角矩陣的轉置是個下三角矩陣，這個下三角矩陣如果有為0的對角元，則B不滿秩，AB也不滿秩，顯然det(AB) = det(A)det(B) = 0。沒有為0的對角元時，這個矩陣可以進一步使用高斯消去法寫成一系列初等變換與乙個對角陣的乘積，方便起見我們將每個初等變換矩陣用它的轉置來表示：
或者高斯消去法用到的兩類初等變換矩陣與另乙個矩陣左乘或右乘，等於初等變換矩陣的行列式值乘以矩陣的行列式值（證明略，見各代數課本，實際上是交換兩行則行列式取反，乘以係數加到另一行則行列式值不變）
兩類初等變換矩陣的逆仍然是初等變換矩陣（證明略）右乘對角陣實際上是將某一列乘以係數的初等變換的組合，容易證明C為任意矩陣，為對角陣
則而當A=I（單位陣）時所以
7樓：
by Stephen_H._Friedberg,_Arnold_J._Insel,_Lawrence_E :Linear Algebra 4th ed.
8樓：白如冰
思路比較簡單的證明方法是：
矩陣有三種初等變換：交換兩行(列)，某一行(列)乘以常數，某一行(列)乘以常數加到另一行(列)上。
首先第三種初等變換不改變矩陣的行列式的值(行列式的性質)。
其次如果之一是對角陣，那麼根據行列式的定義可以驗證。
注意：只用第三種初等變換可以把矩陣化為對角形(高斯消元法)。
如果主元，如果行或列不全為0，即或，直接把第列或者第行直接加過來就可以。如果行和列全為0，直接跳過對右下角的分塊繼續消元。
這個消元過程只是為了證明乘積的行列式這個性質，所以最後化成的對角形並不是滿秩縮在左上角的那種情況，不可以回帶，和解方程的消元法還不太一樣。
於是(注意這裡是對角陣)
9樓：王贇 Maigo
引理1：將行列式的某一行（列）乘以某一係數加到另一行（列）上去，不改變行列式的值。證明思路：
設把行列式的第i行乘以k後，加到第j行上去。把新的行列式按第j行展開，可以發現展開的結果是兩部分的和，一部分就是原行列式的值，另一部分是另乙個行列式的值，這個行列式的第j行就是第i行的k倍。有兩行線性相關的行列式，其值為0，故引理得證。
列變換同理。
引理2：上三角行列式的值，等於所有對角元之積。
證明略。
引理3：兩個上三角矩陣相乘，結果仍是上三角矩陣，且其每個對角元正是原來兩個矩陣相應對角元之積。
證明略。
det(AB) = det(A) det(B) 的證明：
用引理1中的行變換，將A變成上三角陣A'（過程類似高斯消元法）；用引理1中的列變換，將B變成上三角陣B'。由引理1，det(A') = det(A)，det(B') = det(B)。
將同樣的行變換和列變換作用於AB。由於行變換相當於左乘乙個矩陣，列變換相當於右乘乙個矩陣，所以變換的結果是A'B'。由引理1，det(A'B') = det(AB)。
由引理2、3，det(A'B') = det(A') det(B')，故有det(AB) = det(A) det(B)。
10樓：玟清
一、基於定義的直接證明
直接用定義來證，用到一點置換的知識，因為行列式的定義就用到了置換的概念，對於階矩陣，其行列式定義為
置換取遍整個置換群，它們都是定義在上的雙射，共有個。表示置換的符號，指的是將變成所需的交換的次數的奇偶性，可以證明。
第一行：行列式的定義，矩陣乘法的定義
第二行：簡單地展開
第三行：關鍵步驟。將的遍歷換成乙個置換，因為若不是置換，則後面的求和為零。
這是因為，假設有相同的指標，比如，則存在兩個置換，使得，其它位置兩個置換相同，但這兩個置換符號相反，因此會消去
第四行：置換取遍整個置換群，而也取遍整個置換群
第五行：是置換的基本性質，後面消去不是針對單個，即不一定有，而是對所有的整體替換
第六行：的遍歷換成了的遍歷
第七行：行列式的定義
二、基於遞迴定義的直接證明
行列式的另一種遞迴定義為
其中表示去掉元素之後剩下的矩陣，於是我們可用歸納法證明。
第四行用了歸納假設，第三行是關鍵：因為可表示為乙個矩陣的行列式，即為第行列元素，此行列式通過行變換可得到，即將第一行乘以加到第行(若自然就不用加了)。事實上，相比於，就多了乙個元素。
三、關於外代數
從行列式的定義來看，沒有比外代數更好的描述語言了。給定乙個維-向量空間，其基底為，對於向量，我們記為-向量，它們滿足
反對稱性：
結合率：
線性性：，其中
實數構成，向量構成，二矢構成向量空間，最高的是-矢構成。的基底類似於，，等等，共有個。這也意味著與是對偶的，都是一維向量空間，的基底只有乙個元素，比如，它有個專有名詞：
偽矢。記基底，矩陣，，則
這一步的證明用外代數和行列式的定義即可(乙個典型的外代數習題)，或者直接把它作為行列式的定義。類似地，，若以為基底，則
這裡嚴格區分了向量與列向量，因為是乙個抽象的向量空間。這裡的也可換成其它域。
上述外代數的描述過程，體現了行列式的幾何性質，因為乙個多矢實際上就是乙個高維的平行多面體，比如二矢表示乙個平行四邊形。因此，行列式表示基底變換的體積變化。
我還是喜歡一桿子捅到底的證明方法，高票回答裡公理化行列式的方式也是很不錯的。
11樓：貓頭鷹green
行列式的本質是線性變換的放大率，n 維空間到自身的線性變換，可以用乙個方陣來表示，特徵向量，就是變換中方向不變的向量，特徵值就是這個向量的收縮率，所有特徵值相乘就是整個放大率。也是行列式的值。
知道這些以後，兩個矩陣相乘對應著復合變換，復合以後的變化率等於變化率的乘積，也就是
det(AB)＝DetA×DetB
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