1樓：Trequartista
原文沒有問題。想象一下若x的某個鄰域不包含A中的點，則有無窮個點（至少所有整數點）落在該鄰域之外。這顯然與文中定義的拓撲有矛盾，因為你這個開集的補集並不是有限集。
所以x任意鄰域都包含A中的點，即x是A的limit point。
2樓：
任意x的任意乙個neighborhood 的補集是有限的，因此這個補集也只包含有限個整數，所以這個neighborhood 必然包括可數無窮多整數。再通過limit point 的定義可知這個x是limit point 。
3樓：Singularity
你也提到limit point定義中的neighbourhood。應該是剛開始學習topology，題目所說的是finite-complement topology下的neighborhood不能簡單的認為是開區間。任意x in R，x的neighbourhood是乙個補集為有限集的集合，由於Z是無限集，所以必然相交不空。
4樓：
其他幾位答主已經說的非常好了。這個例子裡的拓撲跟實數上的標準拓撲不一樣。我在這裡給個詳細一點的論證。
沿用你的記號，假設p是X的任意乙個元素。根據領域的定義，p的領域U要包含乙個開集V，且p也是V的元素。根據這個例子拓撲的定義，V的補集只能有有限個元素。
從而得知，U的補集也只能有有限個元素。因為A-是X的無窮子集，而任何有限集的補集跟任何無窮子集的交集非空（這是關鍵步驟，一定要想明白這是為什麼），所以就A-於U的交集非空。因為U是任取的領域，由定義可得，p是A是乙個極限點。
由於p也是任取的，所以X是A的所有極限的集合。
5樓：松瓏子
把這段話重寫一遍，我們在 上賦予乙個topology， if is finite, then is open. 其實對於這樣的 ,有個專門的詞叫cofinite.
那麼， , open set , s.t. , according to the the topology here, is finite.
Therefore, , which means . To sum up, all neighbourhood of intersect is non-empty. Therefore, is the limit point of under this topology.
As an extension, the closure of under this topologyis .
6樓：Jiayi Wang
在R上定義了這種topology之後（我習慣一般叫它cofinite topology），那麼這個topological space的結構都變了，因為當開集的定義不一樣的時候，所以與開集相關的概念，比如閉集，Compactness都會變（除非這兩個topology是equivalent的），當然很明顯這裡的topology與傳統的歐式空間的不等價。
那麼要去理解劃線句子的意思，只需要去證明R的每乙個元素在cofinite topology下是Z的乙個limit point（也就是Z在R中稠密），只需要去考慮任意乙個元素的neighbourhood，這個領域必包含乙個開集，如果領域與Z是不相交的（即這個元素不是乙個limit point），那麼根據定義，Z被包含在某個開集的補集中，於是就有了乙個矛盾，因為開集的補集必須是finite的。
值得注意的是，任意的infinite space with cofinite topology都不是Hausdorff空間，所以從分離性來講，這種拓撲空間的結構反而是更簡單的...
7樓：Yuhang Liu
「對於的子集, 顯然均不為的limit point「。你沒搞懂拓撲的定義。
按照他給的finite-complement topology的定義，(-1,1)不是0的鄰域。但是(-∞,-1)並(-1,+∞)是0的鄰域。此非彼，拓撲變了，鄰域、極限、連續性等等相關概念就完全變了。
你要理解這一點，才能理解為什麼數學家要抽象出點集拓撲這麼個框架出來。
8樓：eaudenoixdecoco
不是反例，是正例。由於開集是補為有限的集合（除了空集，其補為全集R）。考慮任意一點p，其neibourhood必須包含乙個開集，而乙個開集至少包含乙個整數。
否則這個開集不包含任何整數，則所有的整數都在這個集合的補集裡，於是補集的cardinality為無窮，矛盾。
你可以在想想N的閉包是什麼。 答案是R。
對於這個抽象的（abstract nonsense）點集拓撲例子，有乙個實際數學中用到的例項：Zariski 拓撲
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