高度合成數與素數之間的關係

時間 2021-06-01 15:08:06

1樓:

吸取費爾馬的經驗,多算幾步:1-17最小公倍數

兩倍24504480

第52個高度合成數:32432400,不是***的倍數。

2樓:鏗爾瑟歇

必然的啊

有個很簡單的定理:一組數的所有公倍數都是最小公倍數的整數倍。比如1,2,3的最小公倍數是6,他的所有公倍數都是像6,12,18,24...這樣是6的1,2,3,4...倍

設1到N的最小公倍數為A,1到N+1的最小公倍數為B由於1到(N+1)的最小公倍數必然是1到N的公倍數,也就是說B必然是A的整數倍。以此類推,所有比A大的(你所謂的)高度合成數都是A的倍數。並不需要比A大至少一倍這個條件,因為在A到2A之間不可能有其他的高度合成數。

3樓:Reciprocity

請用嚴謹的數學語言定義高度合成數

目前沒紙沒筆,大概想了一下,做乙個啟發性回答吧。假設乙個數的素因數分解是2^a*3^b*……,那麼它的因子個數是(a+1)(b+1)……

我們需要的就是在2^a*3^b保持不變的前提下,讓(a+1)(b+1)盡量的大。這裡我們先考慮a,b可以取任意實數

利用調整法,假設a變成a+x,那麼b就要相應調整成b-x*t,其中t=log_3^2,也就是以3為底2的對數。所以(a+1)(b+1) 相應的變成(a+x+1)(b-xt+1)。這個是個關於x的二次函式,顯然當x=(b+1-at-t)/2t的時候取最大值。

如果a和b已經是最大值了,那麼x等於0,也即(b+1)/(a+1)=t。

所以說當(b+1)/(a+1)越接近t,素因子越多。而A的素因子分解中2的冪次是log_2^n下取整,3的冪次是log_3^n下取整,顯然這兩個的比接近t。

將2和3換成任意兩個素數上述分析依然成立。

回到正題,假設x是乙個比A大的數,並且A不整除x,那麼一定有乙個素數p,A中p的冪次比x中p的冪次大。另一方面由於x大於A,那麼一定有另乙個素數q,A中q的冪次小於x中q的冪次。那麼x中的p和q的比例肯定不會符合上述分析,所以x不是高度合成數

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