1樓：zerozero
過完備字典能夠得到相對完備字典更稀疏的表示。
我的理解是：由於過完備字典D（過完備基向量組）中含有包括正交基在內的非常多各式各樣的向量，因此對於乙個待表示的向量x，有三種方法：
遵循完備字典（完備基向量組）的表示方法。用這個過完備字典D中的正交基向量組 對向量x進行表示，這樣得出的結果與用完備字典沒什麼區別。
用過完備字典D中合適的向量進行表示。這裡的「合適」指的是剛好D中有這樣一組向量 能對x進行表示，同時這組向量 滿足向量的個數小於 。這樣一來就用更少的向量對原向量x進行了表示，即得到了相對稀疏的表示。
這個方法是最主要的方法，雖然並不能保證一定能遇到「合適」的向量組，但是總體上還是比完備字典得到了更為稀疏的表示。
用超過完備字典中正交向量組 中向量個數的向量進行表示。由於過完備字典D中向量是過完備的，因此有無窮種方式（線性組合）能夠對向量x進行表示，最極端的情況就是用上所有D中的向量。這種情況是需要避免的，因此使用過完備字典時必須有稀疏約束。
舉個例子：
二維平面有兩個正交基v和u構成完備字典[v, u]：
則向量w只有一種表示：w = v + u， 即 [1, 1]
考慮由向量 v, u, a, b, c 組成的過完備字典D: [v, u, a, b, c]（為了顯示方便去掉了向量c與w的兩個端點標籤）：
此時要表示向量w可以有對應如下三種方式：
1）w = v + u 與完備字典一致，得到[1, 1, 0, 0, 0]
2）w = 2c 與完備字典相比，得到了簡化，得到稀疏表示[0, 0, 0, 0, 2]（這裡也可以用向量b進行稀疏表示）
3）w = v + u + c - b 與完備字典相比，更加複雜了，得到[1, 1, 0, -1, 1]（還有無窮種表示方法）
2樓：默默默默
我講一下我的理解吧。
我們先來看乙個二維空間：
在這個二維空間中，有兩個基向量，那麼任意乙個在該平面的的向量可以由這兩個向量線性疊加。如果將（0，1）與（1,0）分別看做兩個列向量 則表徵乙個二維空間的向量可以寫成矩陣的形式：
x為疊加係數。那麼如果乙個向量y一旦確定，那麼x也就是唯一確定的，也就是說y可以由 唯一確定表示， 也是乙個滿秩矩陣。那麼如果二維空間不光只有 ，還有很多其他向量：
那麼同樣用乙個這些向量來表徵二維空間中的任意乙個向量：
由於這些向量不是兩兩正交的，且向量個數遠遠高於維數，這就導致表徵y的疊加係數x是不唯一的（因此就要加上x是稀疏向量的約束），也就是說矩陣 不是乙個滿秩矩陣， 相對於 來說就顯得非常的冗餘，因為 中不光可能包含了二維空間的正交基向量，還有可能包含了需要表徵的向量以及其他很多的向量，所以說 包含的向量非常多，就更加完備，所以類似於 這樣的字典就可以叫做超完備字典。
3樓：卡布奇諾耳思維奇
在對影象進行表示時，最初完備正交基由於表示簡單唯一而被廣泛使用，但是正交基的要求一般比較嚴格，所以導致它對影象的表示不夠稀疏。基於過完備字典下的訊號稀疏分解的思想: 相對完備正交基而言，過完備基的基底一般是冗餘的，也就是基元素的個數比維數要大。
影象在過完備基下的表示比完備正交基更加稀疏，影象中的乾淨部分可以利用少量的非零稀疏表示係數進行線性表示，而雜訊一般認為不具有稀疏性，因此可以根據它們之間的區別實現去除雜訊的目的。
4樓：Bihan Wen
我猜樓主應該指的是Overcomplete dictionary。
首先，Dictionary是一種sparse representation（稀疏表達？）的模型。比如你的資料是y，字典是D，y=Dx，其中x是稀疏的。
如果你的D是square或者tall matrix（orthogonal除外），字典很可能是undertermined的。相反的，如果你的D是個fat matrix，形象地講，你擁有多於必要的column來表達這個資料（redundancy）。這樣的字典稱為Overcomplete dictionary。
這種字典的優勢是更有利於表達highly diversified的資料（影象）。
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