1樓：xpstu
講13個球編號，記為1.2.3...13。三次稱量如下：
第一次：左邊5.6.
10.11 右邊4.7.
8.9第二次：左邊2.
6.8.9 右邊3.
7.10.12第三次：
左邊5.7.9.
12 右邊1.3.8.
11第13個球不上稱，可以發現對於任意的k，k為有問題小球的編號，都有唯一的一種天平結果，即3次可稱出有問題小球
2樓：萊茵哈特洪
點開發現是這麼長的答案QAQ.數學早就忘得差不多了、1，分成三組，6,6,1，只稱6,6，如果平衡，就是多出來的那個，不平衡轉步驟2
2，重的那組分成3,3稱，取重的那組，轉步驟33，剩下的3個球分成三組，取1，1稱，重的那個就是想要的球，如果平衡，多出來的那個就是想要的球
3樓：
答一次。
這個題目記得在南七技校工程資訊理論課上考過。題目的陷阱就是不知道這個異常球是比其它球重還是輕。這裡的三次是統計上的三次，就是採用什麼方法測使得測量次說的期望最低，該題的目的就是計算不同方法的期望的。
方法如下(手機敲公式不方便，不寫期望計算過程了)
第一步，分為5組，3-3-3-3-1，任取一組撐，a>若兩邊同重，說明餘下的3-3-1中有目標球；b>若不同重，則說明目標球在所選的3-3組裡。
第二步，真對1-a情況，測餘下的 3-3-1組的3-3，a>若同重，則餘下的1就是目標球，此時需要~兩次~測量；b>若不同重就回到了1-b中。對於1-b的情況，將重的一組與3-3-1中的任意個組3球再撐一次，若同重，則說明球在較輕的那組內，且目標球比其它球輕，對於這三個球撐一次可以解決整個問題，此時共需要~三次~測量。
第三步，針對2-b 的情況，即對3-3-1組的3-3測量時發現不同重，說明目標球在這兩組內，此時將重的一組與第一步中的三個球測一次，若發現重的組仍較重說明目標球就在這一組，然後對該組3個球進行一次測量，即可找出目標球；若同樣重，則說明目標球較輕，在較輕的3個球中，此時再測量一次即可。如果發生2-b的情形則需要測量四次才能找出目標球。
然而，以上事件發生的概率是不同的，第三部發生的概率最低，與稱兩次找出目標球的概率小。綜合以上的分析過程可以算出這種方法的期望接近於 3 。故可以測三次找出目標球。
4樓：
為什麼這麼簡單個問題高票答案要寫那麼長個玩意兒看尿了看來這輩子我都不適合搞數學了
……其實我就隨便說一下，沒想到這麼認真。
小學沒畢業，也看不懂啥資訊理論，不過不知道是輕了還是重了我覺得小學知識也是三步解決。
有啥問題嘛。
5樓：大腦在飛
分為4、4、5稱（1）4-4平衡則壞球在5中，把5分為2、2、1稱，若2-2平衡則壞球為1.若不平衡記住此時哪邊重。在隨機挑一邊的2分為1、1稱，若是輕的哪邊2個分開稱平衡，則另兩個裡面重的是壞球。
若重的那邊兩個稱平衡，則另兩個裡輕的是壞球。若不平衡直接可以得到結論。（2）4-4不平衡重複上面流程。
貌似運氣好稱三次，運氣不好得四次。
6樓：
分為4 4 5三組
第一次稱量，將兩個四球組放在天平上，此時有兩種可能性：
A1：天平平衡
A2：天平不平衡
考慮A1的情況，不同的球一定出現在五球組，同時剩下八個球質量一定正常。選擇質量正常的三個球為一組，稱為N3，同時從五球組隨機選出三個球，稱為U3。
A1時第二次稱量，將N3與U3放在天平上，此時有三種可能性：
B11：天平平衡，則五球組不在U3中的球質量不同
B12：天平不平衡，U3重於N3，則稱U3為H3
B13：天平不平衡，U3輕於N3，則稱U3為L3
B11第三次稱量，從八個正常球中隨機選取乙個，從五球組不在U3的兩個球中隨機選取乙個，此時有兩種可能性：
C111：天平平衡，則未稱量的球質量不同
C112：天平不平衡，則被抽取的球質量不同
B12第三次稱量，從H3中隨機選取兩球放在天平兩端，此時有兩種可能性：
C121：天平平衡，則未選取的球質量不同
C122：天平不平衡，由於H3整體比正常的三球組重，且僅有乙個球質量不同，則第三次稱量時較重的球質量不同。
同理，B13採取類似策略
C131：天平平衡，則未選取的球質量不同
C132：天平不平衡，由於L3整體比正常的三球組重，且僅有乙個球質量不同，則第三次稱量時較輕的球質量不同。
考慮A2的情況，將較重的一組稱為H4，較輕的一組稱為L4，同時五球組所有的球質量一定正常，稱為N5，L4中抽取乙個與從H4中抽取三個放在一起，稱為H3L1，從N5中抽取三個，與H4剩下乙個球放在一起，稱為H1N3
第二次稱量，將H3L1與H1N3放在天平上，此時有三種可能性，
B21：天平平衡，則質量不同的球在L4未抽中的球中，又因為L4輕於H4，則不同質量的球一定輕於正常球
B21時第三次稱量，從L4剩下的三個球中抽取兩個放在天平上，此時有兩種情況
C211：天平平衡，未抽取的球質量不同
C212：天平不平衡，由於L4輕於正常四球組且只有乙個質量不同的球，則較輕的球質量不同
B22：天平不平衡，H3L1重於H1N3，由於只有乙個質量不同的球，所以一定是H3中有球重於正常球，我們可以採取類似C212的方法進行第三次測量
B23：天平不平衡，H3L1輕於H1N3，由於H3不可能輕於N3，所以一定是L1輕於H1，此時從正常球中抽取乙個與L1進行第三次測量即可得出質量不同的球
7樓：
太長不看：每次都選平均資訊增量最大的稱法。
假設個球中有乙個壞球，不知道輕重，並且記壞球出現在位置的概率為, 其中. 那麼從資訊理論的角度來看，其中蘊含的平均資訊量為.
當取到極大值時，需要滿足, 此時.
每次天平稱重會產生3種結果，分別記為, , . 每次稱重可以獲得的平均資訊量為, 且滿足.
那麼可以得到, 當且僅當時取到等號.
所以題中要求選出13個球中的壞球，在最壞的情況下至少需要的次數. 同理，最壞情況下要分辨出壞球並且推斷出壞球是輕是重至少需要的次數為, 因為最壞情況壞球輕或重的概率相等且為. 但是怎樣才能取到這個最小值呢？
每次都選平均資訊增量最大的稱法。
Step 1
假設天平左邊放個，那麼右邊也是個，剩餘個。天平兩邊的球數一定要相等，否則無法提供有價值的資訊。現在假設均勻分布，即最壞的情況，可以得到平衡時，壞球一定在剩餘那堆裡，那麼.
而左邊重的情況分為兩種情況：左邊有壞球且壞球比好球重；右邊有壞球且壞球比好球輕。所以, 同理.
現在第一次稱重的平均資訊增量為：
令, 可以得到. 也就是說每次稱量的時候將球等分為3組，取兩組稱的操作可以獲得最大的平均資訊增量。但是這裡。我們考慮兩種可能的分割：.
可以看到選4個放左邊，4個放右邊，留下5個可以得到最大的平均資訊增量。接著會產生3種可能的結果：A 一樣重；B 左邊重；C 右邊重。
Step 2
情況A：壞球在剩餘的那5個裡面。那麼不失一般性，在上述5個中選取個放在左邊；選取個放在右邊，同時從8個好球中選個放在右邊（左右兩邊的好球可以約去），滿足.
假設剩餘的壞球堆總共有個，去掉放在天平左右的球，還剩個。天平平衡時壞球在剩餘那堆裡，; 同樣可以得到.
令, 有, 與無關。所以考慮和兩種情況。
所以這一次從5個中拿2個放左邊，拿1個放右邊，再從8個好球中拿1個放右邊。這樣會產生3種情況：A.A 一樣重；A.B 左邊重；A.C 右邊重。
情況B/C：壞球在被選中的那8個裡面。事實上這8個球有2堆：
和。不失一般性，在中選取個放在左邊；選取個放在右邊。在中選取個放在左邊；選取個放在右邊。
同時從5個好球中選個放在右邊，滿足。假設和中各有個球，那麼天平平衡時壞球在剩餘那裡面，; ; .
令這些偏導數等於0, 可以得到. 即可得到. 那麼可以選取或, 對比兩者的平均資訊增量。
（取法並不惟一，由於取值是離散的，所以也不必滿足所有限制條件，只要平均資訊增量和最大的平均資訊增量相等即可）
所以選取, 假設. 因為, 所以這裡. 那麼就是在重的4個中取1個放左邊，在重的4個中取2個放右邊；在輕的4個中取1個放左邊，在輕的4個中取2個放右邊；為保持兩邊球數相等，所以從5個好球中拿2個放在左邊。
這樣會產生3種情況：B/C.A 一樣重；B/C.
B 左邊重；B/C.C 右邊重。
Step 3
假設原來13個球是 . Step 1 將其分為了3組 和 和 .
情況A：已知是好球。拿放左邊，拿和任意乙個好球放右邊：
A.A：平衡。
是好球，拿 放左邊，任意乙個好球放右邊稱。若平衡(A.A.
A)則 是好球， 是壞球；若左重(A.A.B)則 是壞球且壞球偏重；若右重(A.
A.C)則 是壞球且壞球偏輕。此時平均資訊增量.
情況B/C：不失一般性，不妨假設比重。已知是好球。拿和任意兩個好球放左邊，拿放右邊：
B/C.A：平衡。
是好球，拿 放左邊，任意乙個好球放右邊稱。若平衡(B/C.A.
A)則 是好球， 是壞球且壞球偏輕；若左重(B/C.A.B)則 是壞球且壞球偏重；不可能出現右重。
此時平均資訊增量.
最後，可以算出每種情況對應的總資訊增量：
-END-
8樓：方圓
ok，先分為兩組：A1~A6和B1~B7
A1~A3放在左盤，A4~A6放右盤（step1）
IFA1~A3/A4~A6有傾斜，A1A2放左盤，A4A5放右盤（step2）
IFA1A2/A4A5有傾斜，A1放左盤，A4放右盤（step3）
IFA1/A4有傾斜，質量不同的球在A1A4中，自己可判斷是哪個
ELSEA2/A5沒傾斜，質量不同的球在A2A5中，自己可判斷是哪個
ELSEA1A2/A4A5沒傾斜，質量不同的球在A3A6中，自己可判斷是哪個（step3）
ELSEA1~A3/A4~A6沒傾斜，B1B2放左盤，B4B5放右盤（step2）
IFB1B2/B4B5有傾斜，B1放左盤，B4放右盤（step3）
IFB1/B4有傾斜，質量不同的球在B1B4中，自己可判斷是哪個
ELSEB2/B5沒傾斜，質量不同的球在B2B5中，自己可判斷是哪個
ELSEB1B2/B4A5沒傾斜，質量不同的球在B3B6B7中，B3放左盤，B6放右盤（step3）
IFB3/B6有傾斜，質量不同的球在B3B6中，自己可判斷是哪個
ELSEB3/B6沒傾斜，質量不同的球是B7
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