1樓：壵垚玨王玊玉巛
首先，翻開《高等數學》同濟大學第七版第35頁第四節的定理1：（如下）
在自變數的同一變化過程x→x（或x→∞）中，函式f(x)具有極限A的充分必要條件是f(x)=A+α，其中α是無窮小。(證明，書上有，同頁)
第五節定理1兩個無窮小的和是無窮小。（38頁）
第五節定理2有界函式與無窮小的乘積是無窮小
推論1 常數與無窮小的乘積是無窮小推論2 有限個無窮小的乘積是無窮小
回到題目，欲證lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x)=A·B其中f(x)的極限為A，g(x)的極限為B。
又由第四節定理1f(x)=A+α,g(x)=B+β
也就是說，我們要讓等式的左右兩端相等，既然如此，那麼我們不妨算算左右兩端的值，看看是否相等（這個是個已被證明的定理，肯定相等）
左端：由第五節定理1與第四節定理1，定理2及推論1，2可知f(x)·g(x)=A·B+Aβ+Bα+αβ(加粗部分均為無窮小)所以，lim[f(x)·g(x)]=A·B
右端：limf(x)·limg(x)=A·B
所以左端=右端，等式成立。(應該沒證錯吧，證錯或不足可告訴我。)
關於題主所問，為什麼要引入無窮小，可能是為了方便證明，如果不引入無窮小，那麼，怎麼去證明呢？（我不知道，如果有知友知道，可以發表岀來，讓我們看看。）引入無窮小，可以更方便地證明與理解。
高等數學是一整套體系。編書者們也肯定知道這一點，所以先講第四節，再講第五節，第四節的定理會用於第五節的證明。引入無窮小，一方面是證明需要，另一方面又可以複習之前學的定理。
當然，這一段都是我個人的猜測，沒有什麼證據，看看就好。
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