1樓：wzd
作為一種普遍方法是不行的，但對於解一道題是可以的，甚至你把這個4次5項式直接分解為2個二次三項式也對的，至於你如何分解出來的與本題無關，甚至說明了你功力深厚（猜想b=-1，d=3也是功力）。
我看你對方程理論還是吃得很透的，
這個整係數方程的有理根若存在，
必是1，-1，±3，你立即排除了（或韋達定理也可排除），偶次必可分解為二次乘積，用待定係數法加猜想，因式分解時猜想很有用的。
虛根成對出現不在話下，
還有一點是你l認為這寫法有缺點，實為可讀性有點別忸，可見你做事很講條理性，精益求精。
總體OK！
2樓：
首先你的思路是對的
然後，待定係數法那一步（對應項係數相等，這是數學常用方法）並沒有任何問題
有問題的只是一般四次方程走不到這裡（這麼待定係數，需要解四元二次方程組，而四元二次方程組……目測不好解），一般四次方程需要先消掉三次項，變成，然後轉化成乙個三次方程
四次方程消三次項很簡單，令x=y-t然後待定係數就好(對ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0,t=b/4a)
然後對得到的y^4=ay^2+by+c配方
y^4+2u y^2+u^2=(a+2u)y^2+by+(c+u^2)
我們希望，(y^2+u)^2=(Ay+B)^2
右邊能配方的充要條件是b^2=4(a+2u)(c+u^2)，這是乙個關於u的三次方程。
到這裡就可以在消掉u的三次方程的二次項之後，借助卡丹公式求解了。
首先，虛根成對出現定理（對一元實係數多項式方程）保證了 是根，則 也是根
然後是乙個類似虛根成對定理的東西（對一元有理數係數方程成立），若是根，則 也是根。
這裡需要把i看成有理數（如果你知道Gauss整環，你並不會奇怪為什麼這麼看）
於是我們一下子得到了四個根
從而我們只需要解出剩下的
首先，對一般的有理係數方程 的解 ，如果 ，我們計算 除以的餘數（余式），一方面余式次數不超過2，另一方面余式能被 整除，最後由於 是有理係數多項式，從而余式的形式必為 且 與 都是有理數。而對任意不為0的c， 不是有理數
從而只有c=0，也就是 也是方程 的根
remark:這個論證為什麼對有理數可行（而無理數不可行）的原因在於 是有理數係數多項式，而最後一步 不是有理數可以匯出矛盾的原因是有理數對四則運算具有封閉性（兩個有理數的加減乘除（除數非零）運算，沒道理兩個有理數一除多出個根號來）
如果定義Gauss有理數為 ，可以看出Gauss有理數仍然滿足上述定義（ 是Gauss有理數係數多項式，對四則運算封閉不可能除出乙個根號來）
從而我們的定理對Gauss有理數依然成立。
FAQ:
Q:為什麼我不知道定理的名字呢？
A:我還不是「知名學者」
Q:為什麼我不知道定理的名字還斷言這個定理存在呢？
A:我還不是「著名學者」
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