為什麼人們會覺得連續九次正面最後一次一定是反面？

1樓：理呆哥

"投硬幣，前九次正面人們會認為第十次一定反面"，這是人類對概率的本能認識，並暗含著「賭徒心理」——「好事兒」總會發生的。這種認識有那麼點道理，但基本是個錯誤。

撇開人類本能不談，為了更簡單清楚地認識拋硬幣的隨機性問題，數學上會自動將「拋」這個動作和硬幣的物理屬性忽略，用所謂的「伯努利試驗」來描述它。我們學過概率論就知道了，伯努利試驗是最簡單的隨機變數（過程）模型。模型中拋硬幣試驗結果只有兩個可能值（正面）和（反面）。

每一次試驗結果都會以固定的相對頻次或「概率」出現，即，，角標表示第次試驗。

伯努利試驗中，每一次試驗結果都與前一次結果沒什麼「關聯」性，也即，聯合概率滿足。不管前面結果如何，最後一次是還是的概率仍分別為和。更進一步地，假如次試驗的可能結果為

其中，表示次結果的序列，中有次結果 (角標表示隨變化)，有次結果。相應地，的概率為

我們注意到，概率僅作為抽象的模型引數出現，它在一串中起到的作用並不明確。因為即便「確定」了，你也不能確定「未來」一連串的試驗結果裡，哪個結果是，哪個是。假設拋硬幣得到正反面結果的概率為，容易知道，得到任意實驗結果的概率均為。

這意味著任意實驗結果等可能出現。

但奇怪的是，如果未知，我們可以用去估計，也即

這裡，作為的次試驗結果估計值。似乎「賭徒心理」有那麼點道理：如果，那麼拋次硬幣，前面一半次數是正面，後面一半次數似乎有「很大可能」是反面，足夠大的話。

需要指出的是，「對於，任意實驗結果等可能出現」這條「鐵律」不變。那麼這個估計是怎麼實現的呢？或者說，是如何神奇地「驅動」伯努利試驗呢？

我們換個角度來看這個問題。是乙個隨機變數，它服從二項分布

該分布是疊加了所有的可能性的結果——所有的組成了乙個集合，集合的元素個數為。也是隨機變數，它應該服從分布

其中，從數學上來看，次試驗結果得到這個估計值的概率都隨著增大近似依指數速率遞減。具有相對熵的形式，因此且有在處取全域性唯一最小值，這對應著的最大值。

這意味著什麼？伯努利試驗是被隱藏著的「驅動」著。當充分大時，觀測得到的概率為。

如果觀測得到，根據上也就是說面描述，這種事情在偏離越遠時，越難被觀測到。觀測得到的概率與的概率之比為

這意味著，任何偏離的觀測值的概率相對於觀測到的概率都隨著增大依指數速率遞減至。換句話說，偏離的隨著增大會依概率落入的「典型」集合中，該集合的元素個數為。為了展現典型集合的大小，我們注意到，當增大，顯然也會增大。

也就是說，除了「前面一半次數是正面，後面一半次數是反面」（）這種可能，還有更多、更更多、幾乎無窮多的其它可能是「正面一半、反面一半」，賭徒們可能會因錯誤估計而傾家蕩產了。而相對於所有可能的總個數而言，

其中，是每次試驗結果的資訊熵。這說明，典型集合的相對大小（集合相對測度）為。換句話說，典型集合相對整個可能性結果集合而言還是小到忽略不計的。

因此，我們可以通過大量地重複試驗，然後用一長串結果來估計（因為這樣的一定進入到典型集了），而無需弄出好多串。