曲線間有廣義的「平行」關係嗎,如果有的話,是怎樣定義和表述的?

時間 2021-06-05 23:58:26

1樓:球面平行

(本文的理解基礎是球面幾何)

在球面上,若兩條直線平行,且被第三條直線所截,則同位角相等,內錯角也相等。

平面上平行只是球面上的平行的特例。

平面是平的,因為平面上沒有高高低低的變化。球面也是平的,因為球面也沒有高高低低的變化。

平面上有直線,球面上也有直線。因為用垂直於其軸線的平面截正圓柱面所得到的截線——圓為正圓柱面上的直線。如果我們視球面為厚度無限小、直徑由零到球徑的不同的正圓柱面的集合,那麼球面上的任何圓都是球面上的直線!

也就是,在球面上,大圓是直線,小圓也是直線。

球面角是用兩面角來定義的。球面角的兩條邊皆為圓弧,而圓弧必各有其所在的平面。這兩個平面之間的夾角的大小就是球面角的大小。

在球面上過兩點的直線有無數條,但必有一條是最短的,我們用這條最短的來定義球面上兩點之間的距離。

簡單證明本文開頭的定理

三點決定乙個平面,三點也決定乙個圓,所以,球面上的每個圓都有其所在的平面。若球面上兩條直線(兩個圓)平行,則這兩條直線(兩個圓)所在的平面也必互相平行。第三條直線(圓)與這兩條直線(兩個圓)相交,那麼第三條直線(圓)所在的平面也必與上述兩條直線(兩個圓)所在的平面相截。

因為,互相平行的兩個平面被第三個平面所截,同位角或內錯角相等。所以,在球面上,若兩條直線平行,且被第三條直線所截,則同位角相等,內錯角也相等。由此證畢。

羅氏幾何認為「過直線外一點至少存在兩條直線和已知直線平行」。這個說法是不對的。因為不相交未必就是平行的。

不相交與平行並不就是一回事。比如,在球面上,兩條直線不相交,但它們卻未必是平行的。平行當然不相交,但不相交未必就是平行的。

黎曼幾何認為「過直線外一點,不能做直線和已知直線平行」。這個說法是正確的,也是錯誤的。說其正確,是因為過直線(大圓)外一點,的確不能做直線(大圓)和已知直線(大圓)平行」;說其錯誤,是因為過直線(大圓)外一點,能夠做直線(小圓)和已知直線(大圓)平行!

」黎曼只認識到大圓是直線,而沒有認識到小圓也是直線。

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