1樓：
因為我小孩即將上幼兒園了，準備給他在小學就接觸一些通俗易懂的高等數學概念，所以最近有點痴迷微積分，重走長征路，把以前沒學好的補回來。
有兩個地方出現了2.718……
挺巧的。
一是指數函式求導：
y=a^x
按導數定義，
y'=lim(a^(x+Delta x)-a^x)/Delta x
=lim a^x(a^Delta x-1)/Delta x
=a^x lim(a^Delta x-1)/Delta x
對於不同的a值，(a^Delta x-1)/Delta x不盡相同，希望(a^Delta x-1)/Delta x=1，在表達上可以簡化一些，所以有了
(a^Delta x-1)/Delta x=1
a^Delta x-1=Delta x
a^Delta x=1+Delta x
a=(1+Delta x)^(1/Delta x)
當Delta x趨於無限小時（計算器上用0.00001之類的代替），a值趨向於2.718……
也就是自然常數e
當指數函式y=a^x求導時，可用換底公式將y轉換為e^(log e a x)，即y=a^x=e^(log e a x)=e^(ln a x)
則y'=e^(ln a x)'=ln a e^(ln a x)
胡楊：從微積分的觀點看自然對數Natural logarithm和常數e
二是y=x積分：
y=x積分得到y=x^2/2，再積分得到y=x^3/6，再積分得到y=x^4/24
係數分別是1,1/2,1/6,1/24……
仔細看看發現是1/n！
突發奇想，想把這些係數累加起來看看是多少？
結果如圖
又出現了2.718……，什麼情況？
所以1/n！累加，也會出現2.718……，e
這就是我目前的感悟，e=2.718……會在很多地方不經意的出現，自然得好像空氣存在一樣，重要但又不被我們能輕易感受到
2樓：Carpe diem
初學線控，說說的想法
先不考慮重根
n維空間裡的任意乙個向量都可由n個特徵值對應的n個線性無關的向量表示;
n階線性微分方程的解可有n個以e為底、特徵根為指數係數的模組表示。
因此e(at)表示某向量方向上的變化規律，n維空間就會有n個不同的e(at)。
我們深處三維空間，大自然中所有運動變化都可有三個e(at)表示。
後續再補
3樓：數籤籤
贊同鄭鵬來自wiki的定義。
e本身只是乙個數（2.71...)的代指，如同π(3.14...)。之所以重要，以至於單獨被命名，是因為它們擁有著某些特殊的性質。
而為什麼e是這個數？是因為e從來都是被定義為滿足如下條件的乙個數：
對於指數 ，其導數為 ，可以發現這個指數函式的導數是其本身乘以另外乙個係數，更奇妙的是當右邊的係數 時，這個指數函式 的導數就是其本身，一旦這個條件成立， 這個指數函式的無限階導數都是其本身，而e就是滿足這一條件的唯一值，這一獨特性質也注定了e的不平凡，因為你找不到第二個滿足這樣函式，也找不到第二個滿足這樣函式的常數。
由 才推出了常見的e的表示式 ｅ ＝ ，而當我們上來便被給出如尤拉這樣的e的表示式時，整個人絕對是懵的。
然後，才是e的與自然增長規律、增長極限高度巧合之類的其他重要特性，被稱為自然常數。
不過真正讓e大放異彩的，應該算是神一般的尤拉公式， ，
4樓：
這裡是民科和玄學家的天下鑑定完畢。
對於題主的第乙個問題「在什麼情況下,尤拉用到了這個極限」，我認為題主的意思是想知道e的起源，如果是這樣的話感覺@鄭鵬的回答中提到的是從對數函式的求導中冒出來的還是非常靠譜的，這是我本科數學分析看了幾遍之後的認識，當然真實歷史我也沒了解也沒求證所以我也是民科。手動笑哭。。。
下面是反轉，原來鄭鵬自己就是提問者。。。笑哭笑哭笑哭。。。
更新：承認錯誤，是我不懂什麼叫複利！
5樓：liumeng
數學中的抽象符號是可以表達現實某過程的，這種形象的理解是可以幫助我們記住它。
先想想，自然過程中連續增長（注意是連續增長）是如何表達的？
1+1， 乙個人拉乙個人的手，那麼是兩個人，這是增長，是加法「+」符號表達的，但它不是連續增長...
3-2，三個蘋果我吃掉了兩個，這也是用符號表達的，它也不是連續的。
細菌的繁殖，能量的釋放，水的流動，等等這自然界的現象不是跳變進行的，而是一點一點連續進行的。
那麼這一點一點怎麼表達？？估計你已經想到了，就是極限！
比如基礎是1，「增」就是(1+無窮小)，可以用（1+1/n）表達。這個表達就是增加一點點的意思。然後這只是「增」，還不是「長」。
我們的成長不是加一點點就可以完成的，那樣多慢啊，比如1+無窮小+無窮小+無窮小+無窮小+無窮小+無窮小+無窮小。。。，不還是1附近嗎!我們的成長是在原來的基礎上增長的，就像我們身體的增長，11歲是在10歲的基礎上長高，12歲是在11歲的基礎上長高。
於是「長」的表達就是：
1（1+1/n）（1+1/n）（1+1/n）（1+1/n）（1+1/n）......
由於此處不考慮時間的概念，所以n->∞時
e就是連續增長的過程的表達。
但你可能會問：為什麼增長這個看似無限的過程，怎麼會以乙個有限值e作為終點?
問題還是在於連續，乙個梨子+乙個梨子這不叫連續增長，如果要保證增長的連續性，必須保證增量為無窮小量，即1/n。這在e的定義中已經充分體現了。然後再計算極限值就得到了e，或者說定義了e。
如果人類碰巧無法計算這個極限值，那麼就悲劇了。。。
因此，1連續增長的結果是e（無時間的考慮），乙個事物如果想表達連續地相加或者相減，借助e是乙個好的辦法。
6樓：「已登出」
e是怎麼來的?
2017-05-16
今日方知
笑看數學
e是怎麼來的?
【輕鬆一刻】
馬子曾經曰過:如果有100%的利潤，資本家們會挺而走險；如果有200%的利潤，資本家們會藐視法律；如果有300%的利潤，那麼資本家們便會踐踏世間的一切!!!
【利滾利的複利】
複利是指在每經過乙個計息期後，都要將所生利息加入本金，以計算下期的利息。這樣，在每乙個計息期，上乙個計息期的利息都將成為生息的本金，即以利生利，也就是俗稱的「利滾利」。假設本金為a,乙個週期t內利息為r,則起始a0=a,乙個週期後a1=a+ar=a(1+r)....
,n個週期後:
顯然是等比數列,所以n個週期後:
【瘋狂壓榨的資本家】
一次,乙個窮困潦倒無法度日的工人向資本家借了1000元,約定過一年後償還,利息100%,於是一年後資本家收到2000.
過了一年後,因強行勉強還債而再次陷入困境的工人無可奈何有向資本家借了1000元,這次資本家調高了借錢代價:半年結一次利息,然後利滾利.於是年末資本家收到了1000*(1+1/2)^2= 2 250,資本家一看錢果然多了,大喜過望....
再過一年,工人又來借錢,資本家果斷再次調高:每季度結一次利息....
於是年末收到1000*(1+1/4)^4 = 2 441.40625,繼續增多啊...
再次上調:每個月結息一次.1000*(1+1/12)^12 = 2 613.0352902247
再次上調:每天結息一次:1000*(1+1/366)^366 = 2 714.5776051606
再次上調:每小時.....每分....每秒...每.....
看著每次收回來的錢不斷增多,喪心病狂的資本家想了乙個腦洞大開的主意:每時每刻(無窮小時刻)都結息一次,那豈不是掙得更多?從增長趨勢來看,會不會增加無窮多倍呢,從而實現數錢數到手抽筋的巨集圖美夢......
也就是這玩意能有多大?
萬惡的資本家能達到那貪婪的想法嗎???
數學上可以證明這個極限≈2.71828....
放心吧,不會到無窮的
7樓：精準的
驚為天人之作《同構的世界：自然數學的哲學原理》。解答了你所有e的疑問。
根據演化的思想，自然界是沒有負數的，0與1和所有的整數都是變化和短暫存在的。e是乙個層次效率最高的元素，則就用他來做基礎，加上i這個意識的表達（思維的過程，只有思維，才能實現負數），就得到了用e演化思想解釋尤拉公式的e^（i*pi）=-1。然後是e的虛指數構成了正交的向量空間，訊號的相互作用，包含了資訊和能量的訊號，資訊部分的相關性（正交則相互作用為0）。
另外，世界真相我們不清楚，我們只是在用各種體系同構這個世界。
8樓：王阿木
試答，本人機械類專業，數學愛好者，脫離數學專業十年。
e這個符號的產生，誠不知歐神是在研究什麼問題時遇到的。為什麼諸多結果形式中出現e，愚以為如同其他答主的舉例一樣，是在研究一系列自然問題中（包括複利計算，種群數量，衰變，波形），做出最基本的假定後（即變化率的變化恆定），必然會遇到的乙個數。怎麼個必然法，我也說不出…意會一下，這個數就如同1一樣，具有自然性和基礎性。
很難想像查個數查不到1。只不過e看起來比1複雜，那是因為它確實是在研究複雜變數和分析中出現的。如同研究複數就會遇到i一樣。
當這個數具有如此普遍性後，把它記為常數e可以簡化形式和書寫，也是很自然的事了，有人提出，大家同意，廣泛使用。e神奇麼，個人覺得還好。
另外，e如果變化了會不會影響宇宙的基礎。說不出個正理，就亂說說。首先，個人認為，哲學，數學，物理三者。
哲學最具有基礎性，但太抽象，太廣泛，很難研究。物理規律倒是方便假設，比如引力常數變了會怎樣，光速變了會怎樣。那麼模擬一下我覺得e變了這個說法很彆扭，因為e這個數的得出還是有很強構造性，你看，有了自然數，有了乘法，有了極限，才出現了e。
e不是像物理裡的光速引力常數那樣不可再追究下去的常數，也不像1這麼基礎，它變了，必然是其他基礎先變了。
不專業，無資料，隨口答，請輕噴。
最後1+e^(pii)=0
9樓：汪小喵
給你做乙個最淺顯的解釋，「e」有多大用處，看看積分表有多少個「ln」(自然對數，底是「e」)你就知道了。
這樣告訴你吧，一半的積分公式都要用「e」，為什麼都要用到它？舉個最常見的例子∫(1/x)dx=lnx+C，這是什麼概念，延伸一下也就是說只要被積公式裡面出現分式的大多數都要用到它。
如果這樣說你還看不出跟它跟自然之間聯絡的話，那需要再跟你說一下積分有什麼用。二維平面裡求各種簡單或複雜影象面積，多個函式構成的圖形的面積都必須用積分來計算。還有三維空間求各種幾何體的體積，表面積也還是要用積分來算。
世界各種物體既不是標準的球或柱，也不是標準矩形，或多邊形，世界是由各種曲線，曲面（函式）構成的。這時積分就發揮他的作用了，而積分中的自然常量「e」的地位有多重要，我想你也應該明白了。
自然常數e的定義是什麼？
冰ICE e是乙個超越數，在物理學中會經常出現，因為大部分是要解很多的微分方程的。e的定義式已經有答主給出了，也就是當n趨近於無窮時候 1 1 n n 事實上，對於自然對數的底e是有其生活原型的。在歷史上，自然對數的底e與曾乙個商人借錢的利息有關。過去，有個商人向財主借錢，財主的條件是每借1元，一年...
有哪些方法可以計算自然常數 e？
拉馬努金控 從工具的角度，有三種方法計算 用計算器 用筆紙算 用心算。推薦乙個計算器 圖形科學計算器pro.比許多流行的圖形計算器簡便好用得多，功能強大。從理論的角度，有超多種方法 一是直接實用的公式 泰勒公式 極限 連分數等。二是在其他無窮級數和定積分等的計算結果硬湊出來的公式。只要計算過程不需要...
為什麼這個世界諸多公式與自然常數e有關
Jun Chang 因為e的特殊性質。它是指數增長的乙個特例，是眾多微分積分方程的特解，所有的指數對數都可以通過它來表達和轉換，同時所有的週期函式也可以通過它來表達。自然界中的數量關係無非週期變化，單調增減。其中週期已經可以用e表達，單調遞增和遞減中的指數對數又可以用e來表達，那就佔了很大一部分了。...