1樓：
我不是學拓撲的, 以下說的不一定是對的. 相當於給高唐客的答案做乙個註解.
包遵信提到了Poincare對偶的成立實際上是基於 (1). Poincare對偶區域性在 成立; (2). 上同調可以由區域性資訊粘合得到（利用Mayer-Vietoris序列）, 是拓撲空間上的餘層（cosheaf）.
實際上具體到區域性, 我們可以試圖給出進一步的解釋: 這是因為
.上同調實際上是空間到 的對映類. 於是 上的Poincare對偶可以解釋為帶基點的環路空間和到環路空間對映類的對偶.
如果考慮乙個 代數, 它是乙個從 範疇 （物件為 維正方體, 態射空間為平移和放縮生成的嵌入）到 么半範疇（monoidal category） 的么半函子. 我們可以對帶標架的流形, 可以定義某種廣義的同調理論（factorization homology）. 一般而言 係數的上同調是整體截面的匯出, 而整體截面是層的極限.
因此 係數的同調被定義為餘極限,
這裡 . 這是乙個左Kan延拓（left Kan extension; 不知道怎麼翻譯）. 可以證明這是 上的餘層（cosheaf）, 特別地, 在以下情況下可以證明其退化到通常的同調理論
.由此我們可以推廣得到非交換的Poincare對偶. 若 為帶標架（framing）的流形, 若 為 連通的帶基點的空間, 則有
. 如果考慮 , 等式右邊有
.對於等式左邊, 而由於Dold-Kan對應, 有右伴隨 使得有 , 特別地有 . 由此知道 和餘極限交換, 於是等式左邊有
.於是上面的等式退化到一般的Poincare對偶. 而證明也很自然, 只需要說明兩邊都是餘層（cosheaf）就可以了.
進一步可以考慮Poincare對偶和Koszul對偶的聯絡. 考慮帶邊流形的同調, Koszul函子定義為
.當考慮 代數（取值為 代數）時, 實際上得到的就是我們更加常見的Koszul函子
.我們把非交換Poincare對偶寫成如下的形式,
.另一方面, 經過一些努力我們可以證明（這裡的意思就是我不會）
. 這意味著非交換的Poincare對偶可以寫成
.而我們又可以證明 為 的Koszul對偶. 因此非交換的Poincare對偶可以實現為Ayala-Francis證明的Poincare-Koszul對偶的特殊形式:
所謂Poincare-Koszul對偶是說, 在一定假設下有如下的.
既視感和龐加萊復現有所聯絡嗎？
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關於龐加萊重現的一些疑問，想了好幾天，請大神們指點迷津，萬分感謝！？
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19 20 賽季西甲巴塞隆拿 2 0 萊加內斯，如何評價這場比賽？
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