1樓：學半
辛結構（Symplectic structures）在物理中未必有用。愛因斯坦說：「為了真正證明量子關係，需要新的數學語言。」[1]
愛因斯坦說：「人們不止一次地提出過這樣的意見，認為自然規律未必能用微分方程來描述．事實上，從量子論的觀點來看，是否容許體系有這種狀態呢？為了有可能回答這個問題，我們應當認為，體系運動的週期，全都只能按照量子規則形成．為了真正證明量子關係，顯然需要新的數學語言．無論如何，用微分方程組和積分條件來記錄自然規律，正如我們今天所做的那樣，是同合理的想法矛盾的．理論物理學的基礎重新受到震撼，實驗要求我們能夠在新的更高的水平上找到描述自然規律的方法．新思想要到什麼時候才會出現呢？
誰要是能夠活到那個時候並且能夠看到這一點，那該是多麼幸福啊．」
如何看待有的物理學家說物理學就是幾何學，以及物理學需要新的幾何學注入活力？
事實上，幾何是數的根基。公理：「宇宙只有乙個」的幾何形式（即「一的形」）是宇宙數論的根基。
所謂物理，即物質的幾何學理論，是用簡單的「一之形」開始定量刻畫整個宇宙，表「宇宙只有乙個」，作為宇宙萬物之數的幾何演繹體系的唯一出發點——理論初始假設或公理，以定量探索和求解整個宇宙內部的各種運動——相對性運動，及其運動的形數結合幾何學的形式規律表現。物理學需要這種新的幾何學注入活力。
2樓：Winsor Dutch
sympletic structure 這個東西在物理上很有用，因為他具有剛性,而其他代數結構比如近復結構本身不具有剛性的性質，直觀上來講剛性，就是你要穿過乙個洞，就必須要小於洞的面積才能穿進去，但對其他的結構來講，可以本身面積大於洞的面積然後拓撲形變穿過去。
sympletic geometry的匯出背景是Hamilton 動力學，最早是從中抽出研究問題的，而這個問題與天體力學中有著極大的應用作用。現在發展深了，用fukaya category 和 Derived functor來研究，甚至用到代數幾何的很多語言，比如orbifold，已經非常幾何化，本身就是門很高深的學問，但本身對原來的哈密頓系統有沒有啟發，我真的很難抱有樂觀態度，基於自身所學也不多不敢多說。
就我所學的而言，哈密頓動力學和辛幾何的聯絡在尋找週期軌方面有很大的應用。其中尋找週期軌可以看作是在sympletic manifold 上面尋找reeb vector field的characteristic classes。而研究sympletic manifold上面現在也有很多幾何的結果，比如構造sympletic capacity等sympletic invariant進行sympletic classification之類。
這個對於物理上的啟示我就不太了解了。
3樓：李歸農
實話告訴你，我學辛幾何這麼久還從來沒有關注過它跟mechanics之間的關係，因為那部分辛幾何早在80年代就過時了。我以前知道一些怎麼從mechanics出發得到symplectic structure和Lagrangian submanifold之類的東西，但現在都忘了，因為沒用。現在連Gromov-Witten都過時了，我覺得甚至homological mirror symmetry都過時了。
現在最前面的東西，乙個是Fukaya category上的非交換幾何，另乙個是microlocal sheaf。
方向很重要。過去吳文俊在所謂科學院的時候，一直在研究點集拓撲，雖然很用功，但沒做出什麼工作。陳省身說：
你方向錯了。因為研究已經過時的東西一輩子就廢了。學數學最重要的就是選個好方向，努力是次要的。
沒選對方向，比如學某些民工在PDE領域灌水，那麼你已經輸了，再努力也沒用。後來吳文俊聽了陳省身的勸告，改做代數拓撲，結果就做了很好的工作。
當然，選擇正確的方向，也不是去趕時髦。我所講的兩個方向，全世界在這兩個方向上工作的數學家最多就是十來個人，因為你必須有足夠的知識儲備，足夠的數學能力去研究這些東西，不像某些便宜的數學領域，什麼都不學就可以開始打工做研究了，天天搗鼓一些初等數學，漸漸地心思就歪到賺錢割韭菜，愛國獻投名狀上去了。我的意思是你要有自己的眼光，要走在時代的前面，這樣才能把握住大方向。
大方向把握住了，小方向就不要去follow別人，要有自己的想法。
4樓：AfterPhilosophy
Hamilton系統中的辛結構是總所周知的，我們構造從餘切空間到切空間上的同構，類似於定義函式的梯度向量場，就定義了Hamilton函式的Hamilton向量場IdH，而那個同構就定義了乙個辛結構。
一般的，辛結構進入到物理中是因為一階非線性偏微分方程(的特徵線解法)，而且這種引入是自然的。我們在底流形的一階節叢上考慮一階非線性偏微分方程，它定義了乙個2n維的超曲面，同時我們解這個方程就意味著在這個超曲面上找到節叢上切觸超平面場的n維積分曲面，即Legendre子流形，它就是解的1-影象。我們要找特徵線方向，就是要在超曲面的切空間和切觸超平面的交裡面找它的斜正交補。
這時候就已經在考慮切觸超平面上的辛結構了。
最後，引用一下Weinstein的話：辛幾何問題都可以化為Legendre子流形上的問題(Legendre子流形區域性上都是函式的1-影象，可是整體上可以有奇異性)。
5樓：
我也很希望有大神能詳細介紹一下辛結構。
以我僅僅一點的了解來看，辛結構會好用是因為在哈密頓系統裡，象空間都是2N維，正好就是辛空間的維度。可能這個就是引入辛幾何的原因之一吧。但是具體上是怎麼操作的我不知道。
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