1樓：尋風
因為沒有度規的話協變和逆變是兩種不同型別的量，逆變對應切空間而協變對應餘切空間
以一階張量為例說明下（高階張量可以通過其與低階張量的內積為低階張量來確定變換規律）：
逆變向量引入自切矢，即逆變向量定義為光滑函式集到實數集的線性對映
引入兩個有交的局域座標系 ，以下各量均在交域內，
定義座標基 對標量場 的作用為
（求導操作當然是線性的，其實要求是線性對映應該就是方向導數的推廣，
類似從開區間概念提煉出有限交無限並的本質特點從而抽象出開集）
那麼任意乙個切空間中的元素可以定義在這個基上：
要求其是不變數，即
由偏導數的鏈式法則得
故 ，非實質性的改下指標得
此即逆變向量分量的變換關係
協變向量引入自餘切空間，即切空間的對偶空間：切空間到實數集的對映
可以通過對偶基矢對基矢的作用為克羅內克符號來看，
這裡我用另一種方法引入，即 為標量來看，
此為不變數，即 ，由上面給出的逆變向量分量變換關係得
，即 這就能看出不同了
至於二階及以上的變換規律，如二階協變張量 ，令
由協變向量的變換率得
再由逆變向量的變換率得
於是得 ，其他階的張量同理（用張量積也行）
注1.
以上全程照顧指標平衡，為區別開協變和逆變從而不會混淆採取協變指標在下逆變指標在上
這是個非本質的指定，你願意的話完全可以協變在上逆變在下，只是這樣不均衡了看著彆扭
甚至可以都在上或都在下，用字母上加和不加波浪線表示區分等任意方法
注2.
第一部分的座標基矢 的 不是區分協逆變的指標，
只是用以區分一組基中不同的基矢的序號
類似的還有黎曼曲率張量那裡的聯絡一形式和曲率二形式等
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