廣義相對論中的共形變換和量子場論中的共形變換是否有區別？

1樓：

一般CFT的書基本沿用

這個在GR裡面通常特指conformal isometry

p.s 有些書喜歡用 $ds』^2=\Omega ds^2$ 當Omega=1時，得到isometry。但這個總覺得有點歧義，我們都知道對任意座標變換線元都保持不變

2樓：

我認為沒有差別，如果非要說，命名不一樣，有沒有寫的local也是給人一種不一樣的感覺。

很多人應該學學sugra，可能就懂了吧，比較trivial

3樓：鄒益健

這個問題下大家竟然爭論起來了...

個人認為在CFT下共形不變性的意思就是Weyl不變性，而不僅僅指微分同胚下的不變性。所以兩者其實是一樣的。

在2D CFT裡我們可以自由地使用那些有奇點的共形變換來改變標曲率甚至拓撲，而這些並不是微分同胚。比如f(z)=log z這種有branch cut的變換可以把plane對映到cylinder。另外乙個例子是把Riemann sphere對映到complex plane的變換。

（按照某些觀點似乎這些變換就不屬於「座標變換」了，不過這個應該和人們的習慣用法不同）

而且推導Virasoro algebra的時候我們本來也允許奇點的存在，不然L_n中n不等於0，1和-1的那些generator就不應該存在。我不太清楚為什麼要把這種所謂「廣義座標變換」和「座標變換」區分開來，可能只是它們是否globally defined？但在實際場論使用時我們並不會區分吧。

如果我們認為local conformal transformation是一種座標變換，那麼座標變換確實能改變幾何。

另外有一種觀點是說Weyl變換不改變點的位置但座標變換會改變點的位置。我想這個就是乙個純粹的convention的問題。我們完全可以把座標變換當成Weyl rescaling+relabelling of points，而任何理論在relabelling下肯定是不變的。

因此共形不變性和Weyl不變性就是一回事。

至於高維的情況可以參見雲K的回答。

4樓：

CFT那邊對微分同胚變換誘導出來的共形變換感興趣，

換到GR那邊，就是共形等距變換，是被研究的度規場自己擁有的性質。有個特定的微分同胚變換，實施後，效果是掛上了乙個特定的共形因子。無窮小的意義上來說就是存在共形Killing場。

CFT的教材上應該是會提到全域性rescale，還有4個inverse-平移-inverse，這5個對閔氏時空的新操作。

量子的東西都會進一步考慮有沒有反常。這個看真空態能動張量的跡是不是0

以下是主觀意見：我不同意Motl的意見，並認為那是來搶「共形變換」這個詞。占用乙個詞也太霸道了，都叫習慣了還被逼著改口。

貼大尺度結構的

霍金也用的「共形變換」這詞，不是非得說那種不用座標變換，隨便乘個共形因子的那種只能叫外爾變換。

這是第四章42頁，除此之外，第五章133頁，140頁，第六章開篇，191頁，292頁，整本書都說的是共形變換。

國內的知名廣義相對論教材就不說了，本人這習慣就是從那裡來的。

總的來說，術語被錯開使用了。能根據語境區分含義就好。

5樓：唐子騫

有區別，這是兩種東西，但是經常被混淆。根據R.M.Wald的《General Relativity》附錄D p445:

如果是對原有度規g乘乙個嚴格正的流形上的函式\Omega^2得到的新的度規g』=\Omega^2 g，稱這個【度規g』】是通過對g作【共形變換】得到的。

如果對於乙個微分同胚f:M—>M，存在嚴格正的流形上的函式\Omega^2使得度規f*g=\Omega^2 g，稱這個【微分同胚f】為乙個【共形等距對映】。

此外，要強調，並不是對於任乙個g以及由對它作共形變換得到的g』都存在乙個共形等距對映f使得f*g=g』。這意味著這兩種說法是有本質不同的，即共形等距對映和共形變換並不一一對應。

在教材和文獻中，共形群中的作為群元的共形變換以及量子場論語境中所說的共形變換其實是指後者，即共形等距對映。廣義相對論中則兩者都有可能經常出現，要注意語境。