1樓：
首先寫下球座標系下的亥姆霍茲方程:
由於是球座標系, 利用球諧函式分離變數作試探解:, 代入方程得到徑向的方程為:
做乙個標度變換得到, 得到球貝塞爾方程:
再做變換, 帶回球貝塞爾方程得到:
這就是在柱座標和平面極座標下常見的貝塞爾方程. 不過在柱座標下常見的是整數階的貝塞爾方程, 這裡是階的貝塞爾方程. 顯然可以定義球貝塞爾函式:
球諾依曼函式:
, 注意此函式在處是發散的
球漢克爾函式:
(貝塞爾函式 J, 諾依曼函式 N 都是貝塞爾方程的解, 可以通過級數展開來獲得級數解. 對於 J, 直接在原點處展開就可以, 對於 N 要通過 J 進行構造. 這兩者是貝塞爾方程的兩個線性無關解)
由此亥姆霍茲方程的一般解就是:
A, B 由方程的邊界條件和初始條件給定. 這種展開的完備性由斯圖姆劉維爾定理保證
特別地, 對於 的情況, 可以驗證, , 又因為, 此時球漢克爾函式對應的解就是這個最常見的形式.
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