1樓：蘇晨
其他答主都說的很好了，我算是來抖個機靈吧....題主如果仍然覺得你寫的表示式中Delta function分明暗示了「對角」，我可以提供乙個簡單的判斷方法，你可以看看所謂的「對角元」根本不是一系列實數而是「求導算符」，所以其實是不能算「對角化」的。
再者而因為「對角元非實數」這一點，如果你在這個表像下，把動量算符作用在所謂的「座標表象基矢」上，你會發現並不能得到本徵方程的形式。而本徵方程形式才是乙個底層的結構，其他很多定理都是基於這個結構得出的。故如果你硬是把這種情形稱為「對角化」，那由它並不能得到我們通常希望的「對角化」的很多性質，那有什麼意義呢?
我覺得題主的疑惑多半可以在梁燦彬的《微分幾何與廣義相對論·中冊》附錄H中解決，雖然這裡面因篇幅限制許多證明略去了，但好在重要的地方把有關定理和結論都列出來了。
2樓：YorkYoung
要解決這個問題的關鍵在於嚴格地定義連續譜中「對角化」的含義，題主認為動量運算元的「矩陣元」是 就說明它是對角矩陣，這個其實並不好說，因為對於乙個連續的表象而已，通常意義的矩陣元其實是不存在的，具體表現就是，我們不能給中的 賦予乙個具體的數值，得到具體的函式值。
連續譜的所謂矩陣元實際上應該看作乙個核函式：
這個核函式 甚至都不一定是個函式，而是含有引數 的一元廣義函式，所以實際上對於很多一般的情況而言，它和 並沒有任何實質意義的區別，比如我們說動量 的矩陣元是 ，是指：
然而根據廣義函式的導數的定義，實際上結果就是 ，這實際上沒有簡化任何問題，反而可能把事情弄複雜了。
那麼我們怎麼定義乙個運算元是否在某個表象被對角化了呢？對於有限維矩陣，設：
其中 乙個矩陣B是對角的，即 ，那麼我們一定可以找到乙個多項式 ，滿足 ，從而有 。
所以我的觀點是，無窮維空間中，乙個運算元 在 表像可對角化的推廣定義是：存在性質足夠好（個人猜想是除掉一些孤立點後，在任意不包含這些壞點的緊集上都可積，比如）的函式 使得 ，從這個角度出發，乙個運算元 可在座標表象對角化，是指存在性質足夠好的函式 使得： 。
從這個角度而言，顯然動量運算元在座標表象沒有對角化。
3樓：
具有連續譜的算符是不能直接套用線性代數中的概念和結論的。
量子力學教材裡講連續譜表象時，把算符放在乙個delta函式前面的那個無厘頭的表示式不是對角化的體現。算符的完備性條件才是。
4樓：LarryC
首先，正如 @盧健龍 指出，題主的第乙個表示式是沒有任何問題的。直接插入封閉性關係式 可以更快地得到同樣的結果：
但從(1)式便得出動量算符在 表象下是對角化的結論未免過於草率了。對於(1)式涉及到的delta函式的導數(有時稱為單位偶，unit singlet)，答主 @盧健龍 給出了乙個非常直觀的幾何影象(這個廣義函式在原點有一些很有意思的性質，我乙個物理鹹魚就不在這獻醜了)。從量子力學的線性代數本質上來說(即便對連續譜需要引入resolution of the identity這個概念)，動量算符無法在 表象下完成對角化是由於動量算符和位置算符的不對易性，即
這一點可以很容易通過反證法證明。為了簡化符號，接下來我們考慮最簡單的一維情況。倘若動量算符 可以在 表象下對角化，那麼態 則一定是其本徵態(否則作用到另乙個態 則會產生非零的非對角線元素)。
我們將態 對應的本徵值記為 ，也就是有
又因為態 定義為位置算符 的自然本徵態，即
於是有這與(2)矛盾，因此假設不成立。事實上，不僅對於 表象，倘若兩個算符不對易，那麼是無法找到任何一組基(表象)使它們同時對角線化的。
更進一步，我們可以看看函式(算符) 的矩陣元究竟長什麼樣子：
其中 表示的是函式 的傅利葉逆變換：
這應當正在我們的預料之中，因為兩組表象便是用傅利葉變換聯絡的。而對於不易分離動量和位置算符的函式 ，則可按題主所說進行冪級數展開並在 表象下使用(7)式進行相應的代換。
最後補充一句，從(7)式我們可以看出，對於 實際上有(這裡利用了對稱性)
因此動量算符在 表象中不僅不是對角化的，事實上它的所有主對角線元素都為零。
5樓：
你算錯了，態跟算符不能隨便換位置的，動量算符在座標表象下不是對角矩陣。
一早起來看到有大佬寫出了詳細答案，那我就不贅述了。
仔細看發現題主倒確實是不小心算出了正確的答案。
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