1樓：SilverBeet
本質就是把二次型化為標準的二次型，當然這裡說的標準可以有很多種，未必是正交。正交必須滿足P的轉置等於P的逆。幾何意義就是把座標軸旋轉到幾何中心的位置，加上正交那就是垂直旋轉，也就是影象在旋轉過程中沒有拉伸和收縮，或直叫仿射變換。
我講的就盡量通俗啦，哈哈
2樓：
另一位答主 @像牛一樣的貓 說到了本質。
我來補充乙個二維平面上的例子直觀說明吧。
標準正交基底下，乙個二維向量 的模平方可以表示為二次型：
而如果基底不正交，則向量的模平方將由餘弦定理給出，也是乙個二次型：
(其中為兩個基底的夾角)
可以證明，兩組座標基底之間滿足變換關係：
令： 那麼可以證明，兩個二次型矩陣之間就滿足合同變換：
現在來說說本例中合同變換的「幾何本質」：
在微分幾何中，這裡的二次型矩陣 被稱作「度規」，它是描述乙個空間或者流形幾何性質的量。
不同的基底下，同乙個度規的矩陣形式滿足合同變換，但度規本身是不變的(只是分量在變)。
就像前面那個例子，向量模平方(也就是內積)在不同基底下表現為不同的二次型，但這只是基底選取的不同，向量本身沒有變，它的模平方自然也沒有變。
所以只要兩個度規矩陣之間滿足合同變換，我們就能確定，它描述的是同一種空間上的內積。
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