1樓：
其實Boyd的書裡提過這個，在3.5.2節。證明的要點是log-sum-exp可以保持凸性。
若f, g對數凸，令F = log f, G = log g則F, G均為凸函式，於是log (f+g) = log(exp F + exp G)為兩個凸函式F和G的log-sum-exp，所以log (f+g)凸，從而f+g為對數凸。
而log-sum-exp的保持凸性可以由vector composition（見Boyd 3.4.2節）得到：
設，則h(z)是凸的（直接求Hesse陣然後驗證半正定性即可，非常直接。計算過程可參照https://
inst.eecs.berkeley.edu/
~ee127a/book/login/def_lse_fcn.html
2樓：
只需注意到f(x) 是log-convex的等價於是半正定的。
從而f,g都是log-convex的等價於對任意,令h=f+g，只要證明
由條件最後一步是Cauchy不等式，證完了。
寫到這突然發現我直接假設了f和g二階導存在。。。
3樓：
有乙個依賴於Hlder不等式(Hlder's inequality 中counting measure部分)的證明.
Hlder不等式告訴我們對於均成立
現假設取值為正數的函式都是對數凸的, 即對任意, 均成立. 即.
設, 欲證明對數凸, 即證明, 由於, 故只要證之前好像都是廢話, 只是把要證明的東西整理乾淨.
而這就是Hlder不等式, 取即可.
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